2020_新课标III卷
11.设双曲线C： ${ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } - { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的左、右焦点分别为 $F _ { 1 } , \ F _ { 2 } $ ，离心率为 $\sqrt { 5 }$ ．P是C上一点，且 $F _ { 1 } P \bot F _ { 2 } P$ ．若 $\triangle P F _ { 1 } F _ { 2 }$ 的面积为4，则 $\scriptstyle | a =$ （ ）
A【解析】【分析】
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【答案】A【解析】【分析】
根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.
【详解】 $ \because { \frac { c } { a } } = { \sqrt { 5 } } \ , \therefore c = { \sqrt { 5 } } a$ ，根据双曲线的定义可得 $\left\| P F _ { 1 } \right\| { - } \left| P F _ { 2 } \right\| { = } 2 a$
$S _ { \triangle P F _ { 1 } F _ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } | P F _ { 1 } | \cdot | P F _ { 2 } | = 4$ ，即 | $P F _ { 1 } | \cdot | P F _ { 2 } | = 8$
$$ \because F _ { 1 } P \perp F _ { 2 } P , \therefore \mid P F _ { 1 } \mid ^ { 2 } + \mid P F _ { 2 } \mid ^ { 2 } = \left( 2 c \right) ^ { 2 } $$
$\therefore \left( { \left| P F _ { 1 } \right| } - { \left| P F _ { 2 } \right| } \right) ^ { 2 } + 2 { \left| P F _ { 1 } \right| } \cdot { \left| P F _ { 2 } \right| } = 4 c ^ { 2 }$ ，即 $a ^ { 2 } - 5 a ^ { 2 } + 4 = 0$ ，解得 $a = 1$
故选：A.
【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.