已知圆 C : x ^ 2 + y ^ 2 = 1 2 直…——2011 高考数学第 15 题答案解析

【解答】
$( 2 0 1 1 \cdot$ 湖南)已知圆C： $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 2$ ，直线l： $4 x + 3 y = 2 5$

(1)圆C的圆心到直线l的距离为　5　；

(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为 $\frac { 1 } { 6 }$

考点：点到直线的距离公式；几何概型；直线与圆的位置关系。

专题：计算题。

分析：(1)根据所给的圆的标准方程，看出圆心，根据点到直线的距离公式，代入有关数据做出点到直线的距离

(2)本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，根据题意做出符合条件的弧长对应的圆心角是 $6 0 ^ { \circ }$ ，根据几何概型概率公式得到结果

解答：解：(1)由题意知圆 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 2$ 的圆心是(0，0)，

圆心到直线的距离是 $\scriptstyle : d = { \frac { 2 5 } { \sqrt { 3 ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } } } } = 5$

> ②由题意知本题是一个几何概型，

试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，

满足条件的事件是到直线l的距离小于2，过圆心做一条直线交直线l与一点，

根据上一问可知圆心到直线的距离是5，

在这条垂直于直线l的半径上找到圆心的距离为3的点做半径的垂线，

根据弦心距，半径，弦长之间组成的直角三角形得到符合条件的弧长对应的圆心角是 $6 0 ^ { \circ }$ 根据几何概型的概率公式得到 $P { = } \frac { 6 0 ^ { \circ } } { 3 6 0 ^ { \circ } } { = } \frac { 1 } { 6 }$

故答案为： $5 ; \ { \frac { 1 } { 6 } }$

点评：本题考查点到直线的距离，考查直线与圆的位置关系，考查几何概型的概率公式，本题是一个基础题，运算量不大