2018_新课标III卷
12．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点， $\triangle A B C$ 为等边三角形且面积为 $| 9 \sqrt { 3 } ,$ ，则三棱锥 $\mathsf { D } ^ { \mathrm { ~ - ~ } } \mathsf { A B C }$ 体积的最大值为（ ）A $1 2 \sqrt { 3 }$ B $1 8 \sqrt { 3 }$ C $2 4 \sqrt { 3 }$ D $5 4 \sqrt { 3 }$
B
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LG：球的体积和表面积
【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离
【分析】求出， $\triangle \mathsf { A B C }$ 为等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可
【解答】解： $\triangle A B C$ 为等边三角形且面积为 ${ \sqrt { 3 } } { \sqrt { 3 } } ;$ ，可得 $\frac { \sqrt { 3 } } { 4 } \times A B ^ { 2 } = 9 \sqrt { 3 }$ ，解得 $\mathsf { A B } =$ 6，
球心为O，三角形ABC 的外心为 $\Bumpeq$ ，显然D在 $\tt O ^ { \prime } O$ 的延长线与球的交点如图：
$$ 0 ^ { \prime } C = \frac { 2 } { 3 } \times \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \times 6 = 2 \sqrt { 3 } , 0 0 ^ { \prime } = \sqrt { 4 ^ { 2 } - ( 2 \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } } = 2 , $$
则三棱锥D﹣ABC高的最大值为：6，
则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为： ${ \frac { 1 } { 3 } } \times { \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } } \times 6 ^ { 3 } = 1 8 \sqrt { 3 } .$
故选：B
【点评】本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力