2015_新课标 I 卷 (2015·文)
23．在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $C_{1}: x=-2$ ，圆 $C_{2}:(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=1$ ，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（I）求 $\mathrm{C}_{1}, \mathrm{C}_{2}$ 的极坐标方程；
（II）若直线 $C_{3}$ 的极坐标方程为 $\theta=\frac{\pi}{4}(\rho \in R)$ ，设 $C_{2}$ 与 $C_{3}$ 的交点为 $M, N$ ，求 $\Delta C { }_{2} \mathrm{MN}$ 的面积。
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．
【专题】5S：坐标系和参数方程．
【分析】（I）由条件根据 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 求得 $C_{1}, C_{2}$ 的极坐标方程．
（II）把直线 $C_{3}$ 的极坐标方程代入 $\rho^{2}-3 \sqrt{2} \rho+4=0$ ，求得 $\rho_{1}$ 和 $\rho_{2}$ 的值，结合圆的半径可得 $C_{2} M \perp C_{2} N$ ，从而求得 $\triangle C_{2} M N$ 的面积 $\frac{1}{2} \bullet C_{2} M \cdot C_{2} N$ 的值．
【解答】解：（I ）由于 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta, \therefore C_{1}: x=-2$ 的
极坐标方程为 $\rho \cos \theta=-2$ ，
故 $\mathrm{C}_{2}:(\mathrm{x}-1)^{2}+(\mathrm{y}-2)^{2}=1$ 的极坐标方程为：
$(\rho \cos \theta-1)^{2+}(\rho \sin \theta-2)^{2}=1$,
化简可得 $\rho^{2}-(2 \rho \cos \theta+4 \rho \sin \theta)+4=0$ ．
（II）把直线 $\mathrm{C}_{3}$ 的极坐标方程 $\theta=\frac{\pi}{4}(\rho \in \mathrm{R})$ 代入
圆 $C_{2}:(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=1$ ，
可得 $\rho^{2}-(2 \rho \cos \theta+4 \rho \sin \theta)+4=0$ ，
求得 $\rho_{1}=2 \sqrt{2}, \rho_{2}=\sqrt{2}$ ，
$\therefore|M N|=\left|\rho_{1}-\rho_{2}\right|=\sqrt{2}$ ，由于圆 $C_{2}$ 的半径为 $1, \therefore C_{2} M \perp C_{2} N$ ，
$\triangle C_{2} M N$ 的面积为 $\frac{1}{2} \cdot C_{2} M \cdot C_{2} N=\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1=\frac{1}{2}$ ．
【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题。
## 六、【选修4－5：不等式选讲】