16、（2011 • 浙江）设 $x, y$ 为实数，若 $4 x^{2}+y^{2}+x y=1$ ，则 $2 x+y$ 的最大值是 $\_\_\_\_$ $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$ ． ．
考点：基本不等式。
专题：计算题；转化思想。
分析：设 $\mathrm{t}=2 \mathrm{x}+\mathrm{y}$ ，将已知等式用 t 表示，整理成关于 x 的二次方程，二次方程有解，判别式大于等于 0 ，求出 t 的范
围，求出 $2 x+y$ 的最大值．
（2011 • 浙江）设 x, y 为实数，若 4 x^…——2011 高考数学第 16 题答案解析
2011_浙江卷 (2011·理)
完整解析 · 逐步详解
解答：解：$\because 4 x^{2}+y^{2}+x y=1$
$\therefore(2 x+y)^{2}-3 x y=1$
令 $t=2 x+y$ 则 $y=t-2 x$
$\therefore \mathrm{t}^{2}-3(\mathrm{t}-2 \mathrm{x}) \mathrm{x}=1$
即 $6 x^{2}-3 t x+t^{2}-1=0$
$\therefore \Delta=9 t^{2}-24\left(t^{2}-1\right)=-15 t^{2}+24 \geq 0$
解得 $-\frac{2 \sqrt{10}}{5} \leq t \leq \frac{2 \sqrt{10}}{5}$
$\therefore 2 \mathrm{x}+\mathrm{y}$ 的最大值是 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$
故答案为 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$
点评：本题考查利用换元转化为二次方程有解、二次方程解的个数由判别式决定．
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