设函数 f(x)= 1 1- x (0 x<1) 的反函数…——2008 高考数学第 7 题答案解析

【解答】
（5 分）（2008 • 天津）设函数 $f(x)=\frac{1}{1-\sqrt{x}}(0 \leqslant x<1)$ 的反函数为 $f^{-1}(x)$ ，则（ ）
A．$f^{-1}(x)$ 在其定义域上是增函数且最大值为 1
B．$f^{-1}(x)$ 在其定义域上是减函数且最小值为 0
C．$f^{-1}(x)$ 在其定义域上是减函数且最大值为 1
D．$f^{-1}(x)$ 在其定义域上是增函数且最小值为 0
【考点】反函数．
【分析】根据本题所给出的选项，利用排除法比较方便，这样可以简化直接求解带来的繁琐．
【解答】解：$\because y=-\sqrt{x}+1$ 为减函数，
由复合函数单调性知 $f(x)$ 为增函数，
$\therefore \mathrm{f}^{-1} ~(\mathrm{x}) ~$ 单调递增，排除 $\mathrm{B} , \mathrm{C}$ ；
又 $f^{-1}(x)$ 的值域为 $f(x)$ 的定义域，

$\therefore f^{-1}(x)$ 最小值为 0
故选 D
【点评】本题很好的利用了排除法，显得小巧灵活，如果求出反函数再去研究，就会麻烦多了，可以比较一下感受感受，所以筛选法、排除法、验证法都是很好的解题方法，平时要用．

【答案】D

【解析】【解答】
（5 分）（2008 • 天津）设函数 $f(x)=\frac{1}{1-\sqrt{x}}(0 \leqslant x<1)$ 的反函数为 $f^{-1}(x)$ ，则（ ）
A．$f^{-1}(x)$ 在其定义域上是增函数且最大值为 1
B．$f^{-1}(x)$ 在其定义域上是减函数且最小值为 0
C．$f^{-1}(x)$ 在其定义域上是减函数且最大值为 1
D．$f^{-1}(x)$ 在其定义域上是增函数且最小值为 0
【考点】反函数．
【分析】根据本题所给出的选项，利用排除法比较方便，这样可以简化直接求解带来的繁琐．
【解答】解：$\because y=-\sqrt{x}+1$ 为减函数，
由复合函数单调性知 $f(x)$ 为增函数，
$\therefore \mathrm{f}^{-1} ~(\mathrm{x}) ~$ 单调递增，排除 $\mathrm{B} , \mathrm{C}$ ；
又 $f^{-1}(x)$ 的值域为 $f(x)$ 的定义域，

$\therefore f^{-1}(x)$ 最小值为 0
故选 D
【点评】本题很好的利用了排除法，显得小巧灵活，如果求出反函数再去研究，就会麻烦多了，可以比较一下感受感受，所以筛选法、排除法、验证法都是很好的解题方法，平时要用．