设等差数列 a _ n 的公差为 d，且 d > 1 ．令…——2023 高考数学第 20 题答案解析

【答案】① $a _ { n } = 3 n$

> ② $d = \frac { 5 1 } { 5 0 }$

【解析】

【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；

> ②由 $\left\{ b _ { n } \right\}$ 为等差数列得出 $a _ { \scriptscriptstyle 1 } = d$ 或 $a _ { 1 } = 2 d$ ，再由等差数列的性质可得 $a _ { 5 0 } - b _ { 5 0 } = 1$ ，分类讨论即可得解.【小问1详解】

$\because 3 a _ { 2 } = 3 a _ { 1 } + a _ { 3 } , \enspace \therefore 3 d = a _ { 1 } + 2 d$ ，解得 $a _ { \scriptscriptstyle 1 } = d$

$$ \therefore S _ {3} = 3 a _ {2} = 3 (a _ {1} + d) = 6 d $$

$$ T _ {3} = b _ {1} + b _ {2} + b _ {3} = \frac {2}{d} + \frac {6}{2 d} + \frac {1 2}{3 d} = \frac {9}{d} $$

$$ \therefore S _ {3} + T _ {3} = 6 d + \frac {9}{d} = 2 1 $$

即 $2 d ^ { 2 } - 7 d + 3 = 0$ ，解得d = 3或 $d = \frac { 1 } { 2 }$ （舍去），

$$ \therefore a _ {n} = a _ {1} + (n - 1) \cdot d = 3 n. $$

【小问 2 详解】

$\because \{ b _ { n } \}$ 为等差数列，

$\therefore 2 b _ { 2 } = b _ { 1 } + b _ { 3 }$ ，即 $\frac { 1 2 } { a _ { 2 } } = \frac { 2 } { a _ { 1 } } + \frac { 1 2 } { a _ { 3 } }$

$\therefore 6 ( \frac { 1 } { a _ { 2 } } - \frac { 1 } { a _ { 3 } } ) = \frac { 6 d } { a _ { 2 } a _ { 3 } } = \frac { 1 } { a _ { 1 } }$ ，即 $a _ { 1 } ^ { 2 } - 3 a _ { 1 } d + 2 d ^ { 2 } = 0$ ，解得 $a _ { \scriptscriptstyle 1 } = d$ 或 $a _ { 1 } = 2 d$

$$ \because d > 1, \therefore a _ {n} > 0 $$

又 $S _ { 9 9 } - T _ { 9 9 } = 9 9$ ，由等差数列性质知， $9 9 a _ { 5 0 } - 9 9 b _ { 5 0 } = 9 9$ ，即 $a _ { 5 0 } - b _ { 5 0 } = 1$

$\therefore a _ { 5 0 } - \frac { 2 5 5 0 } { a _ { 5 0 } } = 1$ ，即 $a _ { 5 0 } ^ { 2 } - a _ { 5 0 } - 2 5 5 0 = 0$ ，解得 $a _ { 5 0 } = 5 1$ 或 $a _ { 5 0 } = - 5 0 ( \nexists \pm )$

当 $a _ { 1 } = 2 d$ 时， $a _ { 5 0 } = a _ { 1 } + 4 9 d = 5 1 d = 5 1$ ，解得 $d = 1$ ，与 $d > 1$ 矛盾，无解；

当 $a _ { \scriptscriptstyle 1 } = d$ 时， $a _ { 5 0 } = a _ { 1 } + 4 9 d = 5 0 d = 5 1$ ，解得 $d = \frac { 5 1 } { 5 0 }$

综上， $d = \frac { 5 1 } { 5 0 }$