（I）对函数 $f(x)=a \cos 2 x+(a-1)(\cos x+1)$ 求导：
$$f^{\prime}(x)=a(-\sin 2 x) \cdot 2+(a-1)(-\sin x)=-2 a \sin 2 x-(a-1) \sin x$$
（II）将 $f(x)$ 化为关于 $\cos x$ 的二次函数。
由 $\cos 2 x = 2 \cos ^{2} x-1$，得：
$$f(x)=a\left(2 \cos ^{2} x-1\right)+(a-1)(\cos x+1)=2 a \cos ^{2} x+(a-1) \cos x-1$$
令 $t=\cos x$，因 $x \in \mathbf{R}$，故 $t \in[-1,1]$。
设 $g(t)=2 a t^{2}+(a-1) t-1$，则 $A$ 为 $|g(t)|$ 在 $[-1,1]$ 上的最大值。
$g(t)$ 是开口向上的抛物线，对称轴为 $t_{0}=-\frac{a-1}{4 a}=\frac{1-a}{4 a}$。
计算端点值与极值：
$g(1)=2 a+a-1-1=3 a-2$
$g(-1)=2 a-(a-1)-1=a$
若对称轴 $t_0 \in (-1, 1)$，即 $-1 < \frac{1-a}{4 a} < 1$。
因 $a>0$，$\frac{1-a}{4 a} < 1 \Rightarrow 1-a < 4a \Rightarrow 5a > 1 \Rightarrow a > \frac{1}{5}$。
$\frac{1-a}{4 a} > -1 \Rightarrow 1-a > -4a \Rightarrow 3a > -1$，恒成立。
故当 $a > \frac{1}{5}$ 时，极小值点在区间内；当 $0 < a \leqslant \frac{1}{5}$ 时，极值点在区间外或边界，函数在 $[-1,1]$ 单调。
分情况讨论 $A$：
1. 当 $a \geqslant 1$ 时：
$t_0 = \frac{1-a}{4a} \leqslant 0$。
$g(1) = 3a-2 \geqslant 1 > 0$，$g(-1) = a > 0$。
此时 $g(t)$ 在 $[-1, 1]$ 上的最小值为 $g(t_0)$ 或端点较小者，最大值为端点较大者。
由于 $a \geqslant 1$，对称轴 $t_0 \in [-\frac{1}{4}, 0]$。
$g(1) - g(-1) = 2a - 2 \geqslant 0$，故最大值为 $g(1) = 3a-2$。
最小值为 $g(t_0) = -\frac{(a-1)^2}{8a} - 1$。
$|g(1)| = 3a-2$。
$|g(t_0)| = \frac{(a-1)^2}{8a} + 1 = \frac{a^2-2a+1+8a}{8a} = \frac{a^2+6a+1}{8a}$。
比较 $3a-2$ 与 $\frac{a^2+6a+1}{8a}$：
$(3a-2) - \frac{a^2+6a+1}{8a} = \frac{24a^2-16a-a^2-6a-1}{8a} = \frac{23a^2-22a-1}{8a} = \frac{(23a+1)(a-1)}{8a}$。
当 $a \geqslant 1$ 时，该式 $\geqslant 0$，即 $g(1) \geqslant |g(t_0)|$。
又 $g(-1)=a$，显然 $3a-2 \geqslant a \iff 2a \geqslant 2 \iff a \geqslant 1$。
故 $A = 3a-2$。
2. 当 $\frac{1}{5} < a < 1$ 时：
对称轴 $t_0 \in (0, 1)$。
$g(1) = 3a-2 < 0$（因 $a<1 \Rightarrow 3a<3$，且 $a>1/5 \Rightarrow 3a>0.6$，此处需仔细判断符号：$3a-2$ 在 $a<2/3$ 时为负，在 $2/3 \le a < 1$ 时为非负？不，$a<1 \implies 3a-2 < 1$。实际上 $g(1)$ 可能为负。
让我们重新评估绝对值的最大值。
$g(-1) = a > 0$。
$g(1) = 3a-2$。
极小值 $g(t_0) = -\frac{a^2+6a+1}{8a} < 0$。
我们需要比较 $|g(-1)|=a$， $|g(1)|=|3a-2|$， $|g(t_0)|=\frac{a^2+6a+1}{8a}$。
首先比较 $|g(t_0)|$ 与 $|g(-1)|$：
$\frac{a^2+6a+1}{8a} - a = \frac{a^2+6a+1-8a^2}{8a} = \frac{-7a^2+6a+1}{8a} = \frac{(1-a)(1+7a)}{8a}$。
因 $\frac{1}{5} < a < 1$，故 $1-a>0, 1+7a>0$，所以 $|g(t_0)| > |g(-1)|$。
再比较 $|g(t_0)|$ 与 $|g(1)|$：
若 $a \geqslant \frac{2}{3}$，则 $g(1) \geqslant 0$， $|g(1)| = 3a-2$。
$\frac{a^2+6a+1}{8a} - (3a-2) = \frac{a^2+6a+1 - 24a^2 + 16a}{8a} = \frac{-23a^2+22a+1}{8a} = \frac{-(23a+1)(a-1)}{8a}$。
因 $a<1$，分子为正，故 $|g(t_0)| > |g(1)|$。
若 $\frac{1}{5} < a < \frac{2}{3}$，则 $g(1) < 0$， $|g(1)| = 2-3a$。
$\frac{a^2+6a+1}{8a} - (2-3a) = \frac{a^2+6a+1 - 16a + 24a^2}{8a} = \frac{25a^2-10a+1}{8a} = \frac{(5a-1)^2}{8a} > 0$。
故在此范围内也有 $|g(t_0)| > |g(1)|$。
综上，当 $\frac{1}{5} < a < 1$ 时，$A = |g(t_0)| = \frac{a^2+6a+1}{8a}$。
3. 当 $0 < a \leqslant \frac{1}{5}$ 时：
对称轴 $t_0 \geqslant 1$，函数 $g(t)$ 在 $[-1, 1]$ 上单调递减。
最大值为 $g(-1)=a$，最小值为 $g(1)=3a-2$。
$|g(-1)| = a$。
$|g(1)| = 2-3a$（因 $a \leqslant 1/5 \Rightarrow 3a \leqslant 0.6 < 2$）。
比较 $a$ 与 $2-3a$：
$(2-3a) - a = 2-4a$。
因 $a \leqslant 1/5$， $2-4a \geqslant 2 - 4/5 = 1.2 > 0$。
故 $A = 2-3a$。
综上所述：
$$A=\left\{\begin{array}{ll}2-3 a, & 0<a \leqslant \frac{1}{5} \\ \frac{a^{2}+6 a+1}{8 a}, & \frac{1}{5}<a<1 \\ 3 a-2, & a \geqslant 1\end{array}\right.$$
（III）证明：
由（I）知 $f^{\prime}(x)=-2 a \sin 2 x-(a-1) \sin x$。
$$\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 2 a|\sin 2 x|+|a-1||\sin x| \leqslant 2 a+|a-1|$$
1. 当 $0 < a \leqslant \frac{1}{5}$ 时：
$|a-1| = 1-a$。
$\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 2 a+1-a = 1+a$。
此时 $A = 2-3a$。
需证 $1+a \leqslant 2(2-3a) = 4-6a$。
即 $7a \leqslant 3 \Rightarrow a \leqslant \frac{3}{7}$。
因 $a \leqslant \frac{1}{5} < \frac{3}{7}$，故不等式成立。
即 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 2 A$。
2. 当 $\frac{1}{5} < a < 1$ 时：
$|a-1| = 1-a$。
$\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 1+a$。
此时 $A = \frac{a^2+6a+1}{8a}$。
需证 $1+a \leqslant 2 \cdot \frac{a^2+6a+1}{8a} = \frac{a^2+6a+1}{4a}$。
即 $4a(1+a) \leqslant a^2+6a+1$
$4a+4a^2 \leqslant a^2+6a+1$
$3a^2-2a-1 \leqslant 0$
$(3a+1)(a-1) \leqslant 0$。
因 $\frac{1}{5} < a < 1$，故 $a-1 < 0$，$3a+1 > 0$，不等式成立。
即 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 2 A$。
3. 当 $a \geqslant 1$ 时：
$|a-1| = a-1$。
$\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 2 a+a-1 = 3 a-1$。
此时 $A = 3a-2$。
需证 $3a-1 \leqslant 2(3a-2) = 6a-4$。
即 $3a \geqslant 3 \Rightarrow a \geqslant 1$。
条件满足，故不等式成立。
即 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 2 A$。
综上，对任意 $a>0$，都有 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 2 A$。