（12分）设函数 f(x)=a cos 2 x+(a-1)…——2016 高考数学第 21 题答案解析

（I）对 $f(x)=a\cos 2x+(a-1)(\cos x+1)$ 求导，得
\[ f'(x)=-2a\sin 2x-(a-1)\sin x. \]

（II）当 $a\ge1$ 时，
\[ \begin{aligned} |f(x)| &=|a\cos 2x+(a-1)(\cos x+1)|\\ &\le a|\cos 2x|+(a-1)|\cos x+1|\\ &\le a+2(a-1)=3a-2. \end{aligned} \]
又 $f(0)=a+2(a-1)=3a-2$，所以 $A=3a-2$。

当 $0<a<1$ 时，令 $t=\cos x$，则 $t\in[-1,1]$，且
\[ f(x)=a(2\cos^2x-1)+(a-1)(\cos x+1) =2at^2+(a-1)t-1. \]
记
\[ g(t)=2at^2+(a-1)t-1,\qquad t\in[-1,1]. \]
则
\[ g(-1)=a,\qquad g(1)=3a-2. \]
其对称轴为
\[ t_0=\frac{1-a}{4a}. \]
若 $0<a\le\dfrac15$，则 $t_0\ge1$，且
\[ g'(t)=4at+a-1\le 5a-1\le0, \]
故 $g(t)$ 在 $[-1,1]$ 上单调递减。此时
\[ |g(-1)|=a,\qquad |g(1)|=2-3a, \]
而 $2-3a>a$，所以
\[ A=2-3a. \]

若 $\dfrac15<a<1$，则 $t_0\in(0,1)$，$g(t)$ 在 $t=t_0$ 处取极小值：
\[ g(t_0)=-1-\frac{(a-1)^2}{8a} =-\frac{a^2+6a+1}{8a}. \]
设
\[ M=\frac{a^2+6a+1}{8a}. \]
因为
\[ g(-1)-g(1)=2(1-a)>0, \]
所以 $g(t)$ 在端点处的最大值为 $g(-1)=a$。又
\[ M-a=\frac{(1-a)(1+7a)}{8a}>0, \]
故极小值的绝对值大于 $g(-1)$。

再比较 $|g(1)|$：若 $3a-2<0$，则
\[ M-|g(1)|=M-(2-3a)=\frac{(5a-1)^2}{8a}>0; \]
若 $3a-2\ge0$，则 $|g(1)|=3a-2<a<M$。因此
\[ A=M=\frac{a^2+6a+1}{8a}. \]

综上，
\[ A=\begin{cases} 2-3a, & 0<a\le \dfrac15,\\[2mm] \dfrac{a^2+6a+1}{8a}, & \dfrac15<a<1,\\[2mm] 3a-2, & a\ge1. \end{cases} \]

（III）由（I）得
\[ |f'(x)| =|-2a\sin 2x-(a-1)\sin x| \le 2a|\sin 2x|+|a-1||\sin x|. \]
因为 $|\sin x|\le1$，$|\sin 2x|\le1$，所以
\[ |f'(x)|\le 2a+|a-1|. \]

当 $0<a<1$ 时，
\[ |f'(x)|\le 2a+1-a=1+a. \]
若 $0<a\le\dfrac15$，则 $A=2-3a$，
\[ 2A-(1+a)=4-6a-1-a=3-7a\ge0, \]
故 $|f'(x)|\le2A$。

若 $\dfrac15<a<1$，则
\[ 2A=\frac{a^2+6a+1}{4a}, \]
且
\[ 2A-(1+a) =\frac{a^2+6a+1-4a-4a^2}{4a} =\frac{(1-a)(3a+1)}{4a}\ge0, \]
故 $|f'(x)|\le2A$。

当 $a\ge1$ 时，
\[ |f'(x)|\le 2a+a-1=3a-1. \]
此时 $A=3a-2$，
\[ 2A-(3a-1)=6a-4-3a+1=3a-3\ge0, \]
故 $|f'(x)|\le2A$。

因此对任意 $a>0$ 和任意 $x$，均有
\[ |f'(x)|\le2A. \]