在 A B C 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a…——2020 高考数学第 14 题答案解析

【解答】
在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．已知 $a=2 \sqrt{2}, b=5, c=\sqrt{13}$ ．
（I）求角 $C$ 的大小；
（II）求 $\sin A$ 的值；

（III）求 $\sin \left(2 A+\frac{\pi}{4}\right)$ 的值．

【答案】
（I）$C=\frac{\pi}{4}$ ；
（II） $\sin A=\frac{2 \sqrt{13}}{13}$ ；
（III） $\sin \left(2 A+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{17 \sqrt{2}}{26}$ ．

【解析】

【分析】

（I）直接利用余弦定理运算即可；
（II）由（I）及正弦定理即可得到答案；
（III）先计算出 $\sin A, \cos A$ ，进一步求出 $\sin 2 A, \cos 2 A$ ，再利用两角和的正弦公式计算即可．

【详解】（I）在 $\triangle A B C$ 中，由 $a=2 \sqrt{2}, b=5, c=\sqrt{13}$ 及余弦定理得
$\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}=\frac{8+25-13}{2 \times 2 \sqrt{2} \times 5}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,
又因为 $C \in(0, \pi)$ ，所以 $C=\frac{\pi}{4}$ ；
（II）在 $\triangle A B C$ 中，由 $C=\frac{\pi}{4}, a=2 \sqrt{2}, c=\sqrt{13}$ 及正弦定理，可得 $\sin A=\frac{a \sin C}{c}=\frac{2 \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{13}}= \frac{2 \sqrt{13}}{13} ;$
（III）由 $a<c$ 知角 $A$ 为锐角，由 $\sin A=\frac{2 \sqrt{13}}{13}$ ，可得 $\cos A=\sqrt{1-\sin ^{2} A}=\frac{3 \sqrt{13}}{13}$ ，
进而 $\sin 2 A=2 \sin A \cos A=\frac{12}{13}, \cos 2 A=2 \cos ^{2} A-1=\frac{5}{13}$ ，
所以 $\sin \left(2 A+\frac{\pi}{4}\right)=\sin 2 A \cos \frac{\pi}{4}+\cos 2 A \sin \frac{\pi}{4}=\frac{12}{13} \times \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{5}{13} \times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{17 \sqrt{2}}{26}$ ．
【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题．