已知函数 f(x)= array l -x+1, x<0,…——2008 高考数学第 8 题答案解析

【解答】
（5 分）（2008•天津）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x+1, x<0 \\ x-1, x \geqslant 0\end{array}\right.$ ，则不等式 $x+(x+1) f(x+1) \leq 1$ 的解集是（ ）
A．$\{x \mid-1 \leqslant x \leqslant \sqrt{2}-1\}$
B．$\{\mathrm{x} \mid \mathrm{x} \leq 1\}$
C．$\{x \mid x \leqslant \sqrt{2}-1\}$
D．$\{x \mid-\sqrt{2}-1 \leqslant x \leqslant \sqrt{2}-1\}$

【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．
【分析】对 $f(x+1)$ 中的 $x$ 分两类，即当 $x+1<0$ ，和 $x+1 \geq 0$ 时分别解不等式可得结果．
【解答】解：依题意得 $\left\{\begin{array}{l}x+1<0 \\ x+(x+1) \quad(-x) \leqslant 1\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x+1 \geqslant 0 \\ x+(x+1) \quad x \leqslant 1\end{array}\right.$
所以 $\left\{\begin{array}{l}x<-1 \\ x \in R\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x \geqslant-1 \\ -\sqrt{2}-1 \leqslant x \leqslant \sqrt{2}-1\end{array} \Rightarrow x<-1\right.$ 或 $-1 \leqslant x \leqslant \sqrt{2}-1 \Rightarrow x \leqslant \sqrt{2}-1$
故选：C．
【点评】本题考查分断函数，不等式组的解法，分类讨论的数学思想，是基础题．

【答案】C

【解析】【解答】
（5 分）（2008•天津）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x+1, x<0 \\ x-1, x \geqslant 0\end{array}\right.$ ，则不等式 $x+(x+1) f(x+1) \leq 1$ 的解集是（ ）
A．$\{x \mid-1 \leqslant x \leqslant \sqrt{2}-1\}$
B．$\{\mathrm{x} \mid \mathrm{x} \leq 1\}$
C．$\{x \mid x \leqslant \sqrt{2}-1\}$
D．$\{x \mid-\sqrt{2}-1 \leqslant x \leqslant \sqrt{2}-1\}$

【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．
【分析】对 $f(x+1)$ 中的 $x$ 分两类，即当 $x+1<0$ ，和 $x+1 \geq 0$ 时分别解不等式可得结果．
【解答】解：依题意得 $\left\{\begin{array}{l}x+1<0 \\ x+(x+1) \quad(-x) \leqslant 1\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x+1 \geqslant 0 \\ x+(x+1) \quad x \leqslant 1\end{array}\right.$
所以 $\left\{\begin{array}{l}x<-1 \\ x \in R\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x \geqslant-1 \\ -\sqrt{2}-1 \leqslant x \leqslant \sqrt{2}-1\end{array} \Rightarrow x<-1\right.$ 或 $-1 \leqslant x \leqslant \sqrt{2}-1 \Rightarrow x \leqslant \sqrt{2}-1$
故选：C．
【点评】本题考查分断函数，不等式组的解法，分类讨论的数学思想，是基础题．