2021_新课标II卷
17. 记 $S _ { n }$ 是公差不为0 等差数列的 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前n项和，若 $a _ { 3 } = S _ { 5 } , a _ { 2 } a _ { 4 } = S _ { 4 }$
（1）求数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的通项公式 $a _ { n }$ ；
（2）求使 $S _ { n } > a _ { n }$ 成立的n的最小值
(1) $a _ { n } = 2 n - 6$; (2) 7
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】① $a _ { n } = 2 n - 6$ ；(2)7.
【解析】
【分析】①由题意首先求得 $a _ { 3 }$ 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】①由等差数列的性质可得： $S _ { 5 } = 5 a _ { 3 }$ ，则： $a _ { 3 } = 5 a _ { 3 } , \therefore a _ { 3 } = 0$
设等差数列的公差为d ，从而有： $a _ { 2 } a _ { 4 } = ( a _ { 3 } - d ) ( a _ { 3 } + d ) = - d ^ { 2 }$
$$ S _ { 4 } = a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } + a _ { 4 } = \left( a _ { 3 } - 2 d \right) + \left( a _ { 3 } - d \right) + a _ { 3 } + \left( a _ { 3 } - d \right) = - 2 d \ , $$
从而： $- d ^ { 2 } = - 2 d$ ，由于公差不为零，故： $d = 2$
数列的通项公式为： $a _ { n } = a _ { 3 } + \left( n - 3 \right) d = 2 n - 6$
> ②由数列的通项公式可得： $a _ { \scriptscriptstyle 1 } = 2 - 6 = - 4$ ，则： $S _ { n } = n \times ( - 4 ) + \frac { n \left( n - 1 \right) } { 2 } \times 2 = n ^ { 2 } - 6 n$
则不等式 $S _ { n } > a _ { n }$ 即： $n ^ { 2 } - 5 n > 2 n - 6$ ，整理可得： $\left( n - 1 \right) \left( n - 6 \right) > 0$
解得： $n < 1$ 或 $n > 6$ ，又 n为正整数，故 n的最小值为7.
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.