（10分）已知函数 f(x)=|x+1|-2|x-a|,…——2015 高考数学第 24 题答案解析

【考点】R5：绝对值不等式的解法．
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】（I）当 $\mathrm{a}=1$ 时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求。（II）化简函数 $f(x)$ 的解析式，求得它的图象与 $x$ 轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得 $f(x)$ 的图象与 $x$ 轴围成的三角形面积；再根据 $f(x)$ 的图象与 $x$ 轴围成的三角形面积大于 6 ，从而求得 $a$ 的取值范围．

【解答】解：（I ）当 $a=1$ 时，不等式 $f(x)>1$ ，即 $|x+1|-2|x-1|>1$ ，即 $\left\{\begin{array}{l}x<-1 \\ -x-1-2(1-x)>1\end{array}\right.$①，或 $\left\{\begin{array}{l}-1 \leqslant x<1 \\ x+1-2(1-x)>1\end{array}\right.$②，

或 $\left\{\begin{array}{l}x \geqslant 1 \\ x+1-2(x-1)>1\end{array}\right.$③．
解①求得 $x \in \varnothing$ ，解②求得 $\frac{2}{3}综上可得，原不等式的解集为 $\left(\frac{2}{3}, 2\right)$ ．
（II）函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=|\mathrm{x}+1|-2|\mathrm{x}-\mathrm{a}|= \begin{cases}\mathrm{x}-1-2 \mathrm{a}, & \mathrm{x}<-1 \\ 3 \mathrm{x}+1-2 \mathrm{a}, & -1 \leqslant \mathrm{x} \leqslant \mathrm{e}, \\ -\mathrm{x}+1+2 \mathrm{a}, & \mathrm{x}>\mathrm{a}\end{cases}$
由此求得 $f(x)$ 的图象与 $x$ 轴的交点 $A\left(\frac{2 a-1}{3}, 0\right)$ ，
B（ $2 \mathrm{a}+1,0$ ），
故 $f(x)$ 的图象与 $x$ 轴围成的三角形的第三个顶点C（ $a, ~ a+1$ ），由 $\triangle A B C$ 的面积大于 6 ，
可得 $\frac{1}{2}\left[2 a+1-\frac{2 a-1}{3}\right] \cdot(a+1)>6$ ，求得 $a>2$ ．
故要求的 a 的范围为 $(2,+\infty)$ ．

【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．