如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N…——2021 高考数学第 10 题答案解析

【答案】BC

【解析】

【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线MN构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.【详解】设正方体的棱长为 2，

对于A，如图（1）所示，连接AC，则 $M N / / A C$

故 $\angle P O C$ （或其补角）为异面直线 $O P , M N$ 所成的角，

直角三角形OPC，在 $O C = \sqrt { 2 }$ $C P = 1$ ，故 $\tan \angle P O C = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$

故 $M N \perp O P$ 不成立，故A错误.

图(1)

对于B，如图（2）所示，取 NT 的中点为 $Q$ ，连接 $P Q$ ，OQ，则 $O Q \perp N T$ $P Q \perp M N$ 由正方体 $S B C M - N A D T$ 可得 $S N \perp$ 平面 $A N D T$ ，而 $O Q \subset \mp$ 面 $A N D T$
故 $S N \perp O Q$ ，而 $S N \cap M N = N$ ，故 $O Q \bot$ 平面 $S N T M$
又 $M N \subset$ 平面 $S N T M$ $O Q \perp M N$ ，而 $O Q \cap P Q = Q$
所以 $M N \perp$ 平面 $O P Q$ ，而 $P O \subset$ 平面 $O P Q$ ，故 $M N \perp O P$ ，故B正确.

图（2)

对于C，如图（3），连接BD，则 $B D / / M N$ ，由B的判断可得 $O P \perp B D$ 故 $O P \bot M N$ ，故C正确.

图(3)

对于D，如图（4），取AD的中点Q，AB 的中点K，连接 $A C , P Q , O Q , P K , O K$
则 $A C / / M N$
因为 $D P = P C$ ，故 $P Q / / A C$ ，故 $P Q / / M N$
所以 $\angle Q P O$ 或其补角为异面直线PO MN, 所成的角，

图（4）

因为正方体的棱长为2，故 $P Q = \frac { 1 } { 2 } A C = \sqrt { 2 }$ $O Q = \sqrt { A O ^ { 2 } + A Q ^ { 2 } } = \sqrt { 1 + 2 } = \sqrt { 3 }$

$P O = \sqrt { P K ^ { 2 } + O K ^ { 2 } } = \sqrt { 4 + 1 } = \sqrt { 5 }$ $Q O ^ { 2 } < P Q ^ { 2 } + O P ^ { 2 }$ ，故 $\angle Q P O$ 不是直角，

故 $P O { , } M N$ 不垂直，故D错误.

故选：BC.