（12 分）（2008 • 四川）求函数 y =7-4 s…——2008 高考数学第 17 题答案解析

【考点】三角函数的最值．
【专题】计算题．
【分析】利用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简 y 的解析式后，再利用配方法把 y 变为完全平方式即 $\mathrm{y}=(1-\sin 2 \mathrm{x})^{2}+6$ ，可设 $\mathrm{z}=(\mathrm{u}-1)^{2}+6, \mathrm{u}=\sin 2 \mathrm{x}$ ，因为 $\sin 2 \mathrm{x}$ 的范围为 $[-1,1]$ ，根据 u 属于 $[-1,1]$ 时，二次函数为递减函数，利用二次函数求最值的方法求出 z 的最值即可得到 y 的最大和最小值。
【解答】解： $\mathrm{y}=7-4 \sin \mathrm{x} \cos \mathrm{x}+4 \cos ^{2} \mathrm{x}-4 \cos ^{4} \mathrm{x}=7-2 \sin 2 \mathrm{x}+4 \cos ^{2} \mathrm{x}\left(1-\cos ^{2} \mathrm{x}\right)$
$=7-2 \sin 2 \mathrm{x}+4 \cos ^{2} \mathrm{xsin}^{2} \mathrm{x}=7-2 \sin 2 \mathrm{x}+\sin ^{2} 2 \mathrm{x}=(1-\sin 2 \mathrm{x})^{2}+6$
由于函数 $\mathrm{z}=(\mathrm{u}-1)^{2}+6$ 在 $[-1,1]$ 中的最大值为 $\mathrm{z}_{\max }=(-1-1)^{2}+6=10$
最小值为 $\mathrm{z}_{\min }=(1-1)^{2}+6=6$
故当 $\sin 2 \mathrm{x}=-1$ 时 y 取得最大值 10 ，当 $\sin 2 \mathrm{x}=1$ 时 y 取得最小值 6
【点评】此题重点考查三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；本题的突破点是利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键。