2016_退役省自主命题 (2016·文)
（19）（本小题满分 12 分）
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=3 n^{2}+8 n,\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列，且 $a_{n}=b_{n}+b_{n+1}$．
（I）求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）令 $c_{n}=\frac{\left(a_{n}+1\right)^{n+1}}{\left(b_{n}+2\right)^{n}}$．求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$．
（19）
（I）$b_{n}=3 n+1$；（II）$T_{n}=3 n \cdot 2^{n+2}$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】（I）$b_{n}=3 n+1$；（II）$T_{n}=3 n \cdot 2^{n+2}$
【解析】
试题分析：（I）由题意得 $\left\{\begin{array}{l}a_{1}=b_{1}+b_{2} \\ a_{2}=b_{2}+b_{3}\end{array}\right.$，解得 $b_{1}=4, d=3$，得到 $b_{n}=3 n+1$。
（II）由（I）知 $c_{n}=\frac{(6 n+6)^{n-1}}{(3 n+3)^{n}}=3(n+1) \cdot 2^{n=1}$，从而
$T_{n}=3\left[2 \times 2^{2}+3 \times 2^{3}+4 \times 2^{4}+\cdots+(n+1) 2^{n+1}\right]$
利用＂错位相减法＂即得 $T_{n}=3 n \cdot 2^{n+2}$
试题解析：（I）由题意当 $n \geq 2$ 时，$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=6 n+5$，当 $n=1$ 时，$a_{1}=S_{1}=11$；所以 $a_{n}=6 n+5$；设数列的公差为 $d$，由 $\left\{\begin{array}{l}a_{1}=b_{1}+b_{2} \\ a_{2}=b_{2}+b_{3}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}11=2 b_{1}+d \\ 17=2 b_{1}+3 d\end{array}\right.$，解之得 $b_{1}=4, d=3$，所以 $b_{n}=3 n+1$。
（II）由（I）知 $c_{n}=\frac{(6 n+6)^{n-1}}{(3 n+3)^{n}}=3(n+1) \cdot 2^{n=1}$，又 $T_{n}=c_{1}+c_{2}+c_{3}+\cdots+c_{n}$，即
$T_{n}=3\left[2 \times 2^{2}+3 \times 2^{3}+4 \times 2^{4}+\cdots+(n+1) 2^{n+1}\right]$
，所以 $2 T_{n}=3\left[2 \times 2^{3}+3 \times 2^{4}+4 \times 2^{5}+\cdots+(n+1) 2^{n+2}\right]$，以上两式两边相减得
$-T_{n}=3\left[2 \times 2^{2}+2^{3}+2^{4}+\cdots+2^{n+1}-(n+1) 2^{n+2}\right]=3\left[4+\frac{4\left(2^{n}-1\right)}{2-1}-(n+1) 2^{n+2}\right]=-3 n \cdot 2^{n+2}。$
所以 $T_{n}=3 n \cdot 2^{n+2}$
考点：1．等差数列的通项公式；2．等比数列的求和；3．＂错位相减法＂．