已知正方体 A B C D - A _ 1 B _ 1 C…——2022 高考数学第 9 题答案解析

【详解】如图，连接 $B _ { 1 } C , \ B C _ { 1 }$ ，因为 $D A _ { 1 } / / B _ { 1 } C$ ，所以直线 $B C _ { 1 }$ 与 $B _ { 1 } C$ 所成的角即为直线 $B C _ { 1 }$ 与 $D A _ { 1 }$ 所成的角，因为四边形 $B B _ { 1 } C _ { 1 } C$ 为正方形，则 $B _ { 1 } C \perp B C _ { 1 }$ ，故直线 $B C _ { 1 }$ 与 $D A _ { 1 }$ 所成的角为 $9 0 ^ { \circ }$ ，A 正确；

连接 $A _ { 1 } C$ ，因为 $A _ { 1 } B _ { 1 } \bot$ 平面 $B B _ { 1 } C _ { 1 } C$ $B C _ { 1 } \subset$ 平面 $B B _ { 1 } C _ { 1 } C$ ，则 $A _ { 1 } B _ { 1 } \bot B C _ { 1 }$ 因为 $B _ { 1 } C \bot B C _ { 1 } , A _ { 1 } B _ { 1 } \cap B _ { 1 } C = B _ { 1 }$ ，所以 $B C _ { 1 } \perp$ 平面 $A _ { \mathrm { { l } } } B _ { \mathrm { { l } } } C$ 又 $A _ { 1 } C \subset \mp \overline { { \mathbb { H } } } A _ { 1 } B _ { 1 } C$ ，所以 $B C _ { 1 } \bot C A _ { 1 }$ ，故B正确；连接 $A _ { 1 } C _ { 1 }$ ，设 $A _ { 1 } C _ { 1 } \cap B _ { 1 } D _ { 1 } = O$ ，连接BO，因为 $B B _ { 1 }$ ^平面 $A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 } , \ C _ { 1 } O \subset$ 平面 $A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ ，则 $C _ { 1 } O \bot B _ { 1 } B$ 因为 $C _ { 1 } O \bot B _ { 1 } D _ { 1 } , B _ { 1 } D _ { 1 } \cap B _ { 1 } B = B _ { 1 }$ ，所以 $C _ { 1 } O \bot$ 平面 $B B _ { \mathrm { \scriptscriptstyle 1 } } D _ { \mathrm { \scriptscriptstyle 1 } } D$ 所以 $\angle C _ { 1 } B O$ 为直线 $B C _ { 1 }$ 与平面 $B B _ { 1 } D _ { 1 } D$ 所成的角，设正方体棱长为1，则 $C _ { 1 } O = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ $B C _ { 1 } = \sqrt { 2 }$ $\sin \angle C _ { 1 } B O = \frac { C _ { 1 } O } { B C _ { 1 } } = \frac { 1 } { 2 }$ 所以，直线 $B C _ { 1 }$ 与平面 $B B _ { 1 } D _ { 1 } D$ 所成的角为 $3 0 ^ { \circ }$ ，故C错误；因为 $C _ { 1 } C \perp$ 平面ABCD，所以 $\angle C _ { 1 } B C$ 为直线 $B C _ { 1 }$ 与平面ABCD所成的角，易得$\angle C _ { 1 } B C = 4 5 ^ { \circ }$ ，故D 正确.

故选：ABD