24．（2008•江苏）设 $a, b, c$ 为正实数，求证：$\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}}+a b c \geqslant 2 \sqrt{3}$ ．
参考答案
证明：因为 $a, b, c$ 为正实数，由平均不等式可得 $\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}} \geqslant 3 \sqrt[3]{\frac{1}{a^{3}} \cdot \frac{1}{b^{3}} \cdot \frac{1}{c^{3}}}$ ， 即 $\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}} \geqslant \frac{3}{a b c}$ ， 所以，$\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}}+a b c \geqslant \frac{3}{a b c}+a b c$ ， 而 $\frac{3}{a b c}+a b c \geqslant 2 \sqrt{\frac{3}{a b c} \cdot a b c}=2 \sqrt{3}$ ， 所以，$\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}}+a b c \geqslant 2 \sqrt{3}$