## 19.（本小题满分12分） 如图，从点 P _ 1…——2011 高考数学第 19 题答案解析

【分析】（1）根据函数的导数求切线方程，然后再求切线与x轴的交 点坐标；（2）尝试求出通项 $P _ { n } Q _ { n } \mid$ 的表达式，然后再求和

【解】（Ⅰ）设 $P _ { k - 1 } ( x _ { k - 1 } , 0 )$ ，由 $y ^ { \prime } = e ^ { x }$ 得 $Q _ { k - 1 } ( x _ { k - 1 } , e ^ { x _ { k - 1 } } )$ 点处切线方程为

$$ y - e ^ { x _ { k - 1 } } = e ^ { x _ { k - 1 } } ( x - x _ { k - 1 } ) $$

由 y = 0得 $x _ { k } = x _ { k - 1 } - 1 ( 2 \leq k \leq n )$

（ Ⅱ） $x _ { 1 } = 0 , x _ { k } - x _ { k - 1 } = - 1$ ，得 $x _ { k } = - ( k - 1 )$

$$ \left| P _ { k } Q _ { k } \right| = e ^ { x _ { k } } = e ^ { - ( k - 1 ) } $$

$$ S _ { n } = \left| P _ { 1 } \mathcal { Q } _ { 1 } \right| + \left| P _ { 2 } \mathcal { Q } _ { 2 } \right| + \left| P _ { 3 } \mathcal { Q } _ { 3 } \right| + . . . + \left| P _ { n } \mathcal { Q } _ { n } \right| $$

$$ = 1 + e ^ { - 1 } + e ^ { - 2 } + . . . + e ^ { - ( n - 1 ) } = { \frac { 1 - e ^ { - n } } { 1 - e ^ { - 1 } } } = { \frac { e - e ^ { 1 - n } } { e - 1 } } $$