一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白鼠,随…——2023 高考数学第 19 题答案解析

2023_全国甲卷

2023 全国 第 19 题 解答题 区分题
2023_全国甲卷

19. 一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白鼠,随机地将其中20只分配到试验组,另外20 只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位: $\mathbf { g } )$ ).试验结果如下:对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.132.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2

试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

<table><tr><td>7.8</td><td>9.2</td><td>11.4</td><td>12.4</td><td>13.2</td><td>15.5</td><td>16.5</td><td>18.0</td><td>18.8</td><td>19.2</td></tr><tr><td>19.8</td><td>20.2</td><td>21.6</td><td>22.8</td><td>23.6</td><td>23.9</td><td>25.1</td><td>28.2</td><td>32.3</td><td>36.5</td></tr></table>

(1)计算试验组的样本平均数;

(2)(ⅰ)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m 与不小于m 的数据的个数,完成如下列联表

<table><tr><td></td><td>&lt;m</td><td>≥m</td></tr><tr><td>对照组</td><td></td><td></td></tr><tr><td>试验组</td><td></td><td></td></tr></table>

(ⅱ)根据(i)中的列联表,能否有 95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异?

附: $K ^ { 2 } = { \frac { n ( a d - b c ) ^ { 2 } } { ( a + b ) ( c + d ) ( a + c ) ( b + d ) } }$

<table><tr><td> $P(K^{2} \geq k)$ </td><td>0.100</td><td>0.050</td><td>0.010</td></tr><tr><td>k</td><td>2.706</td><td>3.841</td><td>6.635</td></tr></table>

参考答案

(1) 19.8 >; (2) (i) $m = 2 3 . 4$ ;列联表见解析,(ii)能

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完整解析 · 逐步详解

【答案】①19.8

> ②(i) $m = 2 3 . 4$ ;列联表见解析,(ii)能

【解析】

【分析】①直接根据均值定义求解;

> ②(i)根据中位数的定义即可求得m = 23.4,从而求得列联表;

(ii)利用独立性检验的卡方计算进行检验,即可得解.

【小问1详解】

试验组样本平均数为:

$$ \frac {1}{2 0} (7. 8 + 9. 2 + 1 1. 4 + 1 2. 4 + 1 3. 2 + 1 5. 5 + 1 6. 5 + 1 8. 0 + 1 8. 8 + 1 9. 2 + 1 9. 8 + 2 0. 2 $$

$$ \left. + 2 1. 6 + 2 2. 8 + 2 3. 6 + 2 3. 9 + 2 5. 1 + 2 8. 2 + 3 2. 3 + 3 6. 5\right) = \frac {3 9 6}{2 0} = 1 9. 8 $$

【小问2详解】

(i)依题意,可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起,从小到大排后第20位与第21位数据的平均数,

由原数据可得第11位数据为18.8,后续依次为19.2,19.8,20.2,20.2,21.3,21.6,22.5,22.8,23.2,23.6,L ,

故第 20 位为 23.2 ,第 21 位数据为 23.6 ,

所以 $m = { \frac { 2 3 . 2 + 2 3 . 6 } { 2 } } = 2 3 . 4$

故列联表为:

<table><tr><td></td><td>&lt;m</td><td>≥m</td><td>合计</td></tr><tr><td>对照组</td><td>6</td><td>14</td><td>20</td></tr><tr><td>试验组</td><td>14</td><td>6</td><td>20</td></tr><tr><td>合计</td><td>20</td><td>20</td><td>40</td></tr></table>

(ii)由(i)可得, $K ^ { 2 } = { \frac { 4 0 \times ( 6 \times 6 - 1 4 \times 1 4 ) ^ { 2 } } { 2 0 \times 2 0 \times 2 0 \times 2 0 } } = 6 . 4 0 0 > 3 . 8 4 1$

所以能有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.

✅ 来源:2023年 · 全国 · 2023_全国甲卷 · 第 19 题 · 本题已通过全部自动发布校验

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