为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进…——2020 高考数学第 19 题答案解析

2020_新课标II卷

2020 全国 第 19 题 解答题 区分题
2020_新课标II卷

19.为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5 和 ${ \mathrm { S O } } _ { 2 }$ 浓度(单位: $\mu \mathrm { g } / \mathrm { m } ^ { 3 } \mathrm { ~ , ~ }$ ),得下表:

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1> ${ \mathrm { S O } } _ { 2 }$ PM2.5</td><td rowspan=1 colspan=1>[0,50]</td><td rowspan=1 colspan=1>(50,150]</td><td rowspan=1 colspan=1>(150,475]</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>[0,35]</td><td rowspan=1 colspan=1>32</td><td rowspan=1 colspan=1>18</td><td rowspan=1 colspan=1>4</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>(35,75]</td><td rowspan=1 colspan=1>6</td><td rowspan=1 colspan=1>8</td><td rowspan=1 colspan=1>12</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>(75,115]</td><td rowspan=1 colspan=1>3</td><td rowspan=1 colspan=1>7</td><td rowspan=1 colspan=1>10</td></tr></table>

(1)估计事件“该市一天空气中PM 2.5浓度不超过75,且 $\mathrm { S O } _ { 2 }$ 浓度不超过 $1 5 0$ ”的概率;

(2)根据所给数据,完成下面的 $2 \times 2$ 列联表:

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1> ${ \mathrm { S O } } _ { 2 }$ PM2.5</td><td rowspan=1 colspan=1>[0,150]</td><td rowspan=1 colspan=1>(150,475]</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>[0,75]</td><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1></td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>(75,115]</td><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1></td></tr></table>

(3)根据②中的列联表,判断是否有 $9 9 \%$ 的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与 ${ \mathrm { S O } } _ { 2 }$ 浓度有关?附: $K ^ { 2 } = \frac { n ( a d - b c ) ^ { 2 } } { ( a + b ) ( c + d ) ( a + c ) ( b + d ) }$

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1> $P ( K ^ { 2 } \geq k )$ </td><td rowspan=1 colspan=1>0.050</td><td rowspan=1 colspan=1>0.010</td><td rowspan=1 colspan=1>0.001</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>k</td><td rowspan=1 colspan=1>3.841</td><td rowspan=1 colspan=1>6.635</td><td rowspan=1 colspan=1>10.828</td></tr></table>

参考答案

(1) 0.64; (2) 答案见解析; (3) 有

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【答案】(1)0.64;(2)答案见解析;③有.

【解析】

【分析】

(1)根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果;

(2)根据表格中数据可得2 2´ 列联表;

(3)计算出 $K ^ { 2 }$ ,结合临界值表可得结论.

【详解】①由表格可知,该市100天中,空气中的PM2.5浓度不超过75,且 $\mathrm { S O } _ { 2 }$ 浓度不超过150的天数有 $3 2 + 6 + 1 8 + 8 = 6 4$ 天,

所以该市一天中,空气中的PM2.5浓度不超过75,且 $\mathrm { S O } _ { 2 }$ 浓度不超过150的概率为 $\frac { 6 4 } { 1 0 0 } = 0 . 6 4$

> ②由所给数据,可得2 2´ 列联表为:

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1> $\mathrm { S O } _ { 2 }$ PM2.5</td><td rowspan=1 colspan=1>[0,150]</td><td rowspan=1 colspan=1>(150,475]</td><td rowspan=1 colspan=1>合计</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>[0,75]</td><td rowspan=1 colspan=1>64</td><td rowspan=1 colspan=1>16</td><td rowspan=1 colspan=1>80</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>(75,115]</td><td rowspan=1 colspan=1>10</td><td rowspan=1 colspan=1>10</td><td rowspan=1 colspan=1>20</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>合计</td><td rowspan=1 colspan=1>74</td><td rowspan=1 colspan=1>26</td><td rowspan=1 colspan=1>100</td></tr></table>

(3)根据2 2´ 列联表中的数据可得

$$ K ^ { 2 } = { \frac { n ( a d - b c ) ^ { 2 } } { ( a + b ) ( c + d ) ( a + c ) ( b + d ) } } = { \frac { 1 0 0 \times ( 6 4 \times 1 0 - 1 6 \times 1 0 ) ^ { 2 } } { 8 0 \times 2 0 \times 7 4 \times 2 6 } } = { \frac { 3 6 0 0 } { 4 8 1 } } \approx 7 . 4 8 4 4 > 6 . 6 3 5 , $$

因为根据临界值表可知,有99%的把握认为该市一天空气中 PM2.5浓度与 $\mathrm { S O } _ { 2 }$ 浓度有关.

【点睛】本题考查了古典概型的概率公式,考查了完善2 2´ 列联表,考查了独立性检验,属于中档题.

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