（2012•天津）已知函数 f ( x )= 1 3 x…——2012 高考数学第 20 题答案解析

【解答】
（2012•天津）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{3} \mathrm{x}^{3}+\frac{1-\mathrm{a}}{2} \mathrm{x}^{2}-\mathrm{ax}-\mathrm{a}, \mathrm{x} \in \mathrm{R}$ ，其中 $\mathrm{a}>0$ ．
（1）求函数 $f(x)$ 的单调区间；
（2）若函数 $f(x)$ 在区间 $(-2,0)$ 内恰有两个零点，求 $a$ 的取值范围；
（3）当 $a=1$ 时，设函数 $f(x)$ 在区间 $[t, t+3]$ 上的最大值为 $M(t)$ ，最小值为 $m(t)$ 。记 $g(t)=M(t)-m(t)$ ，求函数 $\mathrm{g}(\mathrm{t})$ 在区间 $[-3,-1]$ 上的最小值．

考利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值。
点

专综合题。
题
：
分（1）求导函数，令 $f^{\prime}(x)>0$ ，可得函数的递增区间；令 $f^{\prime}(x)<0$ ，可得单调递减区间；
析②由①知函数在区间 $(-2,-1)$ 内单调递增，在 $(-1,0)$ 内单调递减，从而函数在 $(-2,0)$ 内恰 ：有两个零点，由此可求 a 的取值范围；
（3）$a=1$ 时，$f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-x-1$ ，由①知，函数在 $(-3,-1)$ 上单调递增，在 $(-1,1)$ 上单调递减，在 $(1,2)$ 上单调递增，再进行分类讨论：①当 $t \in[-3,-2]$ 时，$t+3 \in[0,1],-1 \in[t, t+3], f(x)$ 在 $[t,-1]$上单调递增，在 $[-1, t+3]$ 上单调递减，因此函数在 $[t, t+3]$ 上的最大值为 $M(t)=f(-1)=-\frac{1}{3}$ ，而最小值 $m(t$ ）为 $f(t)$ 与 $f(t+3)$ 中的较小者，从而可得 $g(t)$ 在 $[-3,-2]$ 上的最小值；②当 $t \in[-2,-1]$ 时，$t+3 \in[1,2]$ ，$-1,1 \in[t, t+3]$ ，比较 $f(-1), f(1), f(t), f(t+3)$ 的大小，从而可确定函数 $g(t)$ 在区间 $[-3,-1]$上的最小值．
解解：（1）求导函数可得 $f^{\prime}(x)=(x+1)(x-a)$ ，令 $f^{\prime}(x)=0$ ，可得 $x_{1}=-1, x_{2}=a>0$
答令 $f^{\prime}(x)>0$ ，可得 $x<-1$ 或 $x>a$ ；令 $f^{\prime}(x)<0$ ，可得 $-1：故函数的递增区间为 $(-\infty,-1),(a,+\infty)$ ，单调递减区间为 $(-1, a$,
②由①知函数在区间 $(-2,-1)$ 内单调递增，在 $(-1,0)$ 内单调递减，从而函数在 $(-2,0)$ 内恰有两个零点，
$\therefore\left\{\begin{array}{l}\mathrm{f}(-2)<0 \\ \mathrm{f}(-1)>0, \\ \mathrm{f}(0)<0\end{array}, \therefore\left\{\begin{array}{l}-\frac{2}{3}-\mathrm{a}<0 \\ \frac{1}{6}-\frac{\mathrm{a}}{2}>0, \quad \therefore 0<\mathrm{a}<\frac{1}{3} \\ -\mathrm{a}<0\end{array}\right.\right.$
$\therefore \mathrm{a}$ 的取值范围为 $\left(0, \frac{1}{3}\right)$ ；
③$a=1$ 时，$f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-x-1$ ，由①知，函数在 $(-3,-1)$ 上单调递增，在 $(-1,1)$ 上单调递减，在 $(1,2)$ 上单调递增
（1）当 $t \in[-3,-2]$ 时，$t+3 \in[0,1],-1 \in[t, t+3], f(x)$ 在 $[t,-1]$ 上单调递增，在 $[-1, t+3]$ 上单调递减因此函数在 $[t, t+3]$ 上的最大值为 $M(t)=f(-1)=-\frac{1}{3}$ ，而最小值 $m(t)$ 为 $f(t)$ 与 $f(t+3)$ 中的较小者
由 $f(t+3)-f(t)=3(t+1) ~(t+2) ~$ 知，当 $t \in[-3, ~-2]$ 时，$f(t) \leq f(t+3)$ ，故 $m(t)=f(t)$ ，所以 $g(t)=f (-1)-\mathrm{f}(\mathrm{t})$
而 $f(t)$ 在 $[-3,-2]$ 上单调递增，因此 $f(t) \leq f(-2)=-\frac{5}{3}$ ，所以 $g(t)$ 在 $[-3,-2]$ 上的最小值为
$g(-2)=-\frac{1}{3}-\left(-\frac{5}{3}\right)=\frac{4}{3}$
（2）当 $t \in[-2,-1]$ 时，$t+3 \in[1,2],-1,1 \in[t, t+3]$ ，下面比较 $f(-1), f(1), f(t), f(t+3)$ 的大小．
由 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $[-2,-1],[1,2]$ 上单调递增，有
$\mathrm{f}(-2) \leq \mathrm{f}(\mathrm{t}) \leq \mathrm{f}(-1), \mathrm{f}(1) \leq \mathrm{f}(\mathrm{t}+3) \leq \mathrm{f}(2)$
$\because f(1)=f(-2)=-\frac{5}{3}, f(-1)=f(2)=-\frac{1}{3}$
$\therefore \mathrm{M}(\mathrm{t})=\mathrm{f}(-1)=-\frac{1}{3}, \mathrm{~m}(\mathrm{t})=\mathrm{f}(1)=-\frac{5}{3}$
$\therefore g(\mathrm{t})=\mathrm{M}(\mathrm{t})-\mathrm{m}(\mathrm{t})=\frac{4}{3}$

综上，函数 $g(t)$ 在区间 $[-3,-1]$ 上的最小值为 $\frac{4}{3}$ ．
点本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导与分类评讨论是解题的关键．