在信道内传输 0, 1 信号, 信号的传输相互独立. 发送…——2023 高考数学第 12 题答案解析

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断 AB；利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断 C；求出两种传输方案的概率并作差比较判断 D 作答.

【详解】对于 A，依次发送 1，0，1，则依次收到 1，0，1 的事件是发送 1 接收 1、发送 0 接收 0、发送 1 接收 1 的 3 个事件的积，

它们相互独立，所以所求概率为 $(1-\beta)(1-\alpha)(1-\beta)=(1-\alpha)(1-\beta)^{2}$ ，A 正确；

对于 B，三次传输，发送 1，相当于依次发送 1，1，1，则依次收到 1，0，1 的事件，

是发送 1 接收 1、发送 1 接收 0、发送 1 接收 1 的 3 个事件的积，

它们相互独立，所以所求概率为 $(1-\beta)\cdot\beta\cdot(1-\beta)=\beta(1-\beta)^{2}$ ，B 正确；

对于 C，三次传输，发送 1，则译码为 1 的事件是依次收到 1，1，0、1，0，1、0，1，1 和 1，1，1 的事件和，

它们互斥，由选项 B 知，所以所求的概率为 $C_{3}^{2}\beta(1-\beta)^{2}+(1-\beta)^{3}=(1-\beta)^{2}(1+2\beta)$ ，C 错误；

对于 D，由选项 C 知，三次传输，发送 0，则译码为 0 的概率 $P = (1 - \alpha)^{2}(1 + 2\alpha)$ ，

单次传输发送 0，则译码为 0 的概率 $P' = 1 - \alpha$ ，而 $0 < \alpha < 0.5$ ，

因此 $P - P' = (1 - \alpha)^2 (1 + 2\alpha) - (1 - \alpha) = \alpha (1 - \alpha)(1 - 2\alpha) > 0$ ，即 $P > P'$ ，D正确.

故选：ABD

【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.