20、（2011•浙江）如图，在三棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABC}$ 中， $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}, \mathrm{D}$ 为 BC 的中点， $\mathrm{PO} \perp$ 平面 ABC ，垂足 O 落在线段 AD 上，已知
$\mathrm{BC}=8, \mathrm{PO}=4, \mathrm{AO}=3, \mathrm{OD}=2$
（ I ）证明：$A P \perp B C$ ；
（II）在线段 AP 上是否存在点 M ，使得二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{MC}-\beta$ 为直二面角？若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说明理由。
考点：直线与平面垂直的性质；与二面角有关的立体几何综合题。
分析：以 O 为原点，以 AD 方向为 Y 轴正方向，以射线 OP 的方向为 Z 轴正方向，建立空间坐标系，我们易求出几何体中各个顶点的坐标。
（1）我们易求出 $\overrightarrow{A P}, ~ \overrightarrow{B C}$ 的坐标，要证明 $\mathrm{AP} \perp \mathrm{BC}$ ，即证明 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{B C}=0$ ；
（II）要求满足条件使得二面角 $A-M C-\beta$ 为直二面角的点 $M$ ，即求平面 $B M C$ 和平面 $A P C$ 的法向量互相垂直，由此求出 M 点的坐标，然后根据空间两点之间的距离公式，即可求出 AM 的长．