（2011•浙江）如图，在三棱锥 P - ABC 中， A…——2011 高考数学第 20 题答案解析

2011_浙江卷 (2011·理)

2011 浙江 第 20 题 解答题 区分题
2011_浙江卷 (2011·理)

20、（2011•浙江）如图，在三棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABC}$ 中， $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}, \mathrm{D}$ 为 BC 的中点， $\mathrm{PO} \perp$ 平面 ABC ，垂足 O 落在线段 AD 上，已知
$\mathrm{BC}=8, \mathrm{PO}=4, \mathrm{AO}=3, \mathrm{OD}=2$
（ I ）证明：$A P \perp B C$ ；
（II）在线段 AP 上是否存在点 M ，使得二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{MC}-\beta$ 为直二面角？若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说明理由。

考点：直线与平面垂直的性质；与二面角有关的立体几何综合题。
分析：以 O 为原点，以 AD 方向为 Y 轴正方向，以射线 OP 的方向为 Z 轴正方向，建立空间坐标系，我们易求出几何体中各个顶点的坐标。

（1）我们易求出 $\overrightarrow{A P}, ~ \overrightarrow{B C}$ 的坐标，要证明 $\mathrm{AP} \perp \mathrm{BC}$ ，即证明 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{B C}=0$ ；
（II）要求满足条件使得二面角 $A-M C-\beta$ 为直二面角的点 $M$ ，即求平面 $B M C$ 和平面 $A P C$ 的法向量互相垂直，由此求出 M 点的坐标，然后根据空间两点之间的距离公式，即可求出 AM 的长．

查看原卷 →

完整解析 · 逐步详解

解答：解：以 O 为原点，以 AD 方向为 Y 轴正方向，以射线 OP 的方向为 Z 轴正方向，建立空间坐标系，
则 $\mathrm{O}(0,0,0), \mathrm{A}(0,-3,0), \mathrm{B}(4,2,0), \mathrm{C}(-4,2,0), \mathrm{P}(0,0,4)$
（1）则 $\overrightarrow{A P}=(0,3,4), \overrightarrow{B C}=(-8,0,0)$

由此可得 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{B C}=0$
$\therefore \overrightarrow{A P}{ }_{\perp} \overrightarrow{B C}$
即 AP ⟂BC
（11）设 $\overrightarrow{P M}=\lambda \overrightarrow{P A}, \lambda \neq 1$ ，则 $\overrightarrow{P M}=\lambda(0,-3,-4)$
$\overrightarrow{B M}=\overrightarrow{B P}+\overrightarrow{P M}=\overrightarrow{B P}+\lambda \overrightarrow{P A}=(-4,-2,4)+\lambda(0,-3,-4)$

$\overrightarrow{A C}=(-4,5,0), \overrightarrow{B C}=(-8,0,0)$

设平面 BMC 的法向量 $\vec{a}=(\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c})$
则 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{B M} \cdot \vec{a}=0 \\ \overrightarrow{B C} \cdot \vec{a}=0\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}-4 a-(2+3 \lambda) b+(4-4 \lambda) c=0 \\ -8 a=0\end{array}\right.$
令 $\mathrm{b}=1$ ，则 $\overrightarrow{\boldsymbol{a}}=\left(0,1, \frac{2+3 \lambda}{4-4 \lambda}\right)$

平面 APC 的法向量 $\vec{b}=(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})$
则 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{A P} \cdot \vec{b}=0 \\ \overrightarrow{A C} \cdot \vec{b}=0\end{array}\right.$

即 $\left\{\begin{array}{l}3 y+4 z=0 \\ -4 x+5 y=0\end{array}\right.$
令 $\mathrm{x}=5$

则 $\vec{b}=(5,4,-3)$
${ }_{\text {由 }} \vec{a} \cdot \vec{b}_{=0}$

得 $4-3 \cdot \frac{2+3 \lambda}{4-4 \lambda}=0$

解得 $\lambda=\frac{2}{5}$

故 $\mathrm{AM}=3$
综上所述，存在点 M 符合题意，此时 $\mathrm{AM}=3$

点评：本题考查的知识点是线线垂直的判定，与二面角有关的立体几何综合题，其中建立空间坐标系，求出相关向量，然后将垂直问题转化为向量垂直即向量内积等 0 是解答本题的关键．

后面还有完整推导
免费注册即可看完这道题的全部步骤，并解锁同考点的易错点归纳。
免费注册看完整解析
✅ 来源：2011年 · 浙江 · 2011_浙江卷 (2011·理) · 第 20 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验

同类专题与考点

返回上层

数学全部真题2011年数学真题浙江数学真题查看原卷：2011_浙江卷 (2011·理)