（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上， A…——2015 高考数学第 11 题答案解析

【考点】KC：双曲线的性质

【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】设M在双曲线 $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { \mathbf { b } ^ { 2 } } = 1$ 的左支上，由题意可得M的坐标为 $( \phantom { - } - 2 \mathsf { a }$

$\sqrt { 3 } \mathsf { a } )$ ，代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值

【解答】解：设M在双曲线 $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { \mathbf { b } ^ { 2 } } = 1$ 的左支上，

$$ \angle M A = A B = 2 \mathsf { a } , \angle M A B = 1 2 0 ^ { \circ } $$

则M的坐标为 $\left( \mathbf { \nabla } - 2 \mathsf { a } , \mathbf { \nabla } \sqrt { 3 } \mathsf { a } \right)$

代入双曲线方程可得，

$$ \frac { 4 a ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { 3 a ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 , $$

可得a=b，

$$ \mathsf { c } = \sqrt { \mathsf { a } ^ { 2 } + \mathsf { b } ^ { 2 } } = \sqrt { 2 } \mathsf { a } , $$

即有 $\scriptstyle \mathtt { e = } \frac { \mathtt { c } } { \mathtt { a } } = \sqrt { 2 } .$

故选：D

【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运

用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键