【考点】8I：数列与函数的综合；RG：数学归纳法
【专题】23：新定义；55：点列、递归数列与数学归纳法
【分析】（Ⅰ）结合“G时刻”的定义进行分析；
（Ⅱ）可以采用假设法和递推法进行分析；
（Ⅲ）可以采用假设法和列举法进行分析
【解答】解：（Ⅰ）根据题干可得， $a _ { 1 } = - 2 , a _ { 2 } = 2 , a _ { 3 } = - 1 , a _ { 4 } = 1 , a _ { 5 } = 3 , a _ { 1 } < a _ { 2 }$ 满足条件，2满足条件， $\mathtt { a } _ { 2 } > \mathtt { a } _ { 3 }$ 不满足条件，3不满足条件，
$\mathtt { a } _ { 2 } > \mathtt { a } _ { 4 }$ 不满足条件，4不满足条件， $\mathsf { a } _ { 1 } , \mathsf { a } _ { 2 } , \mathsf { a } _ { 3 } , \mathsf { a } _ { 4 }$ ，均小于 $\mathtt { a } _ { 5 }$ ，因此5满足条件，因此 ${ \textsf { G } } \left( { \textsf { A } } \right) = \left\{ 2 , \ { \textsf { 5 } } \right\}$
（Ⅱ）因为存在 $\mathsf { a } _ { \mathsf { n } } > \mathsf { a } _ { 1 }$ ，设数列A中第一个大于 $\mathsf { a } _ { 1 }$ 的项为 $\mathsf { a } _ { \mathsf { k } }$ ，则 $\mathsf { a } _ { \mathsf { k } } { > } \mathsf { a } _ { 1 } \mathsf { \geq a } _ { \mathsf { i } }$ ，其中 $2 { \leqslant } \mathsf { i } { \leqslant } \mathsf { k } - 1$ ，所以 $\mathsf { k } \in \mathsf { G \ ~ } ( \mathsf { A } ) , \mathsf { G \ } ( \mathsf { A } ) \ne \emptyset$ ●
（Ⅲ）设 A 数列的所有 $^ { * } G$ 时刻”为 $\mathsf { i } _ { 1 } { < } \mathsf { i } _ { 2 } { < } \ldots { < } \mathsf { i } _ { \mathsf { k } } ;$
对于第一个 $^ { \prime \prime } G$ 时刻 $\mathbf { \ " } \mathfrak { i } _ { 1 }$ ，有 $a _ { \overset { . } { 1 } } > a _ { 1 } \geq a _ { \mathrm { i } } ( \mathrm { i } \mathop { = } 2 , \ 3 , \ . . . , \ \mathfrak { i } _ { 1 } - 1 )$ ），则
$$
\bar { \mathsf { a } } _ { \dot { \mathsf { 1 } } _ { 1 } } - \mathsf { a } _ { 1 } \leqslant \bar { \mathsf { a } } _ { \dot { \mathsf { 1 } } _ { 1 } } - \mathsf { a } _ { \dot { \mathsf { 1 } } _ { 1 } - 1 } \leqslant 1 .
$$
对于第二个 $^ { \prime \prime } G$ 时刻 ${ \bf \ " } _ { \bf i _ { 1 } }$ ，有 $\mathsf { a } _ { \mathsf { i } _ { 2 } } > \mathsf { a } _ { \mathsf { i } _ { 1 } } \geqslant \mathsf { a } _ { \mathsf { i } } \ ( \mathsf { i } = 2 , \ 3 , \ \ldots , \ \mathsf { i } _ { 1 } - 1 )$ ），则
$$
\bar { \mathsf { a } } _ { \dot { \mathsf { 1 } } _ { 2 } } - \bar { \mathsf { a } } _ { \dot { \mathsf { 1 } } _ { 1 } } \leqslant \bar { \mathsf { a } } _ { \dot { \mathsf { 1 } } _ { 2 } } - \bar { \mathsf { a } } _ { \dot { \mathsf { 1 } } _ { 2 } - 1 } \leqslant 1 .
$$
类似的 $\bar { \mathsf { a } } _ { \overset { . } { 3 } } - \mathsf { a } _ { \overset { . } { 1 } _ { 2 } } \overset { < } { \leq } 1 , \ \ldots , \ \mathsf { a } _ { \overset { . } { 1 } _ { \overline { { \mathsf { k } } } } } - \mathsf { a } _ { \overset { . } { 1 } _ { { \mathsf { k } } - 1 } } \leqslant 1$
于是，k $\geqslant ( \mathsf { a } _ { \mathsf { i } _ { \pm } } - \mathsf { a } _ { \mathsf { i } _ { \pm } 1 } ) + ( \mathsf { a } _ { \mathsf { i } _ { \pm } 1 } - \mathsf { a } _ { \mathsf { i } _ { \pm } 2 } ) + \ldots + ( \mathsf { a } _ { \mathsf { i } _ { 2 } } - \mathsf { a } _ { \mathsf { i } _ { 1 } } ) + ( \mathsf { a } _ { \mathsf { i } _ { 1 } } - \mathsf { a } _ { 1 } )$ $\mathbf { \bar { a } _ { i _ { k } } } - \mathbf { a } _ { 1 } .$
对于 $\mathsf { a } _ { \mathsf { N } }$ ，若 N∈G（A），则 $\mathsf { a } _ { \mathsf { i } _ { \mathsf { k } } } = \mathsf { a } _ { \mathsf { N } }$
若N∉G（A），则 $\mathsf { a } _ { \mathsf { N } } { \leqslant } \mathsf { a } _ { \mathsf { i } _ { \mathsf { k } } }$ ，否则由（2）知 $\bar { \bar { \mathbf { a } } } _ { \mathrm { i } _ { \mathbf { k } } } , \quad \bar { \bar { \mathbf { a } } } _ { \mathrm { i } _ { \mathbf { k } + 1 } } , \quad \dots , \bar { \bar { \mathbf { a } } } _ { \mathsf { N } }$ ，中存在 $^ { \prime \prime } G$ 时刻”与只有k个 $^ { \prime \prime } G$ 时刻”矛盾
从而 $\mathsf { k } \geqslant \mathsf { a } _ { \mathsf { i } _ { \mathtt { k } } } - \mathsf { a } _ { 1 } \geqslant \mathsf { a } _ { \mathsf { N } } - \mathsf { a } _ { 1 }$
【点评】本题属于新定义题型，重点在于对 $^ { . . . } G$ 时刻”定义的把握，难度较大