已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 3 3 和 4…——2022 高考数学第 7 题答案解析

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径 $r _ { 1 } , r _ { 2 }$ ，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径 $r _ { 1 } , r _ { 2 }$ ，所以 $2 r _ { 1 } = { \frac { 3 { \sqrt { 3 } } } { \sin 6 0 ^ { \circ } } } , 2 r _ { 2 } = { \frac { 4 { \sqrt { 3 } } } { \sin 6 0 ^ { \circ } } }$ ，即 $r _ { 1 } = 3 , r _ { 2 } = 4$ 设球心到上下底面的距离分别为 $d _ { 1 } , d _ { 2 }$ ，球的半径为R，所以 $d _ { \scriptscriptstyle 1 } = \sqrt { R ^ { 2 } - 9 } ~ , ~ d _ { \scriptscriptstyle 2 } = \sqrt { R ^ { 2 } - 1 6 }$ ，故$\left| d _ { 1 } ^ { \phantom { \dagger } } - d _ { 2 } ^ { \phantom { \dagger } } \right| = 1$ 或 $d _ { 1 } + d _ { 2 } = 1$ ，即 $\left| { \sqrt { R ^ { 2 } - 9 } } - { \sqrt { R ^ { 2 } - 1 6 } } \right| = 1 { \sqrt { \sharp { \widehat { \chi } } } } { \sqrt { R ^ { 2 } - 9 } } + { \sqrt { R ^ { 2 } - 1 6 } } = 1$ ，解得 $R ^ { 2 } = 2 5$ 符合题意，所以球的表面积为 $S = 4 \pi R ^ { 2 } = 1 0 0 \pi$

故选：A