2013_上海卷 (2013·文)
20．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 9 分．
甲厂以 x 千克／小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求 $1 \leq \mathrm{x} \leq 10$ ），每小时可获得的利润是 $100\left(5 x+1-\frac{3}{x}\right)$ 元。
（1）求证：生产 a 千克该产品所获得的利润为 $100 \mathrm{a}\left(5+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^{2}}\right)$ 元；
（2）要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
(1) 见下 >; (2) 当生产速度为 6 千克／小时，这时获得最大利润为 457500 元
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】（1）见下
> ②当生产速度为 6 千克／小时，这时获得最大利润为 457500 元。
【解析】（1）证明：由题知，生产 a 千克该产品所需要的时间 $t=\frac{a}{x}$ 小时，所获得的利润 $y=\frac{a}{x} \cdot 100\left(5 x+1-\frac{3}{x}\right)=100 a\left(5+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^{2}}\right)$（元），其中 $1 \leq \mathrm{x} \leq 10$ ．所以，生产 a 千克该产品所获得的利润为 $100 \mathrm{a}\left(5+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^{2}}\right)$ 元；（证毕）
> ②由（1）知，生产 900 千克该产品即 $\mathrm{a}=900$ 千克时，获得的利润 $y=100 \cdot 900\left(5+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^{2}}\right)=90000\left[5+\frac{1}{x}\left(1-3 \cdot \frac{1}{x}\right)\right]$由二次函数的知识可知，当 $\frac{1}{x}=\frac{1}{6}$ ，即 $\mathrm{x}=6$ 时，$y \leq 90000\left[5+\frac{1}{6}\left(1-3 \cdot \frac{1}{6}\right)\right]$
$=450000+7500=457500$（元）
所以，当生产速度为 6 千克／小时，这时获得最大利润为 457500 元。