如图，四棱锥 P-A B C D 的底面为正方形， P D…——2020 高考数学第 20 题答案解析

【解答】
如图，四棱锥 $P-A B C D$ 的底面为正方形，$P D \perp$ 底面 $A B C D$ ．设平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 的交线为 $l$ ．

（1）证明：$l \perp$ 平面 $P D C$ ；
（2）已知 $P D=A D=1, Q$ 为 $l$ 上的点，求 $P B$ 与平面 $Q C D$ 所成角的正弦值的最大值．
【答案】（1）证明见解析；②$\frac{\sqrt{6}}{3}$ ．

## 【解析】

## 【分析】

（1）利用线面垂直的判定定理证得 $A D \perp$ 平面 $P D C$ ，利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得 $A D / / l$ ，从而得到 $l \perp$ 平面 $P D C$ ；
（2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点 $Q(m, 0,1)$ ，之后求得平面 $Q C D$ 的法向量以及向量 $\overrightarrow{P B}$ 的坐标，求得 $\cos \langle\vec{n}, \overrightarrow{P B}\rangle$ 的最大值，即为直线 $P B$ 与平面 $Q C D$ 所成角的正弦值的最大值．
【详解】（1）证明：
在正方形 $A B C D$ 中，$A D / / B C$ ，

因为 $A D \not \subset$ 平面 $P B C, B C \subset$ 平面 $P B C$ ，
所以 $A D / /$ 平面 $P B C$ ，
又因为 $A D \subset$ 平面 $P A D$ ，平面 $P A D \cap$ 平面 $P B C=l$ ，
所以 $A D / / l$ ，
因为在四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，所以 $A D \perp D C, \therefore l \perp D C$ ，

且 $P D \perp$ 平面 $A B C D$ ，所以 $A D \perp P D, \therefore l \perp P D$ ，
因为 $C D \cap P D=D$
所以 $l \perp$ 平面 $P D C$ ；
（2）如图建立空间直角坐标系 $D-x y z$ ，

因为 $P D=A D=1$ ，则有 $D(0,0,0), C(0,1,0), A(1,0,0), P(0,0,1), B(1,1,0)$ ，
设 $Q(m, 0,1)$ ，则有 $\overrightarrow{D C}=(0,1,0), \overrightarrow{D Q}=(m, 0,1), \overrightarrow{P B}=(1,1,-1)$ ，
设平面 $Q C D$ 的法向量为 $\vec{n}=(x, y, z)$ ，
则 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{D C} \cdot \vec{n}=0 \\ \overrightarrow{D Q} \cdot \vec{n}=0\end{array}\right.$ ，即 $\left\{\begin{array}{l}y=0 \\ m x+z=0\end{array}\right.$ ，
令 $x=1$ ，则 $z=-m$ ，所以平面 $Q C D$ 的一个法向量为 $\vec{n}=(1,0,-m)$ ，则
$\cos \langle\vec{n}, \overrightarrow{P B}\rangle=\frac{\vec{n} \cdot \overrightarrow{P B}}{|\vec{n}||\overrightarrow{P B}|}=\frac{1+0+m}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{m^{2}+1}}$
根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与
平面所成角的正弦值等于 $|\cos \stackrel{\mathrm{r}}{\mathrm{r}} \underset{\mathrm{ur}}{\mathrm{ur}}, P B>|=\frac{|1+m|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{m^{2}+1}}=\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{\frac{1+2 m+m^{2}}{m^{2}+1}}$
$=\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{1+\frac{2 m}{m^{2}+1}} \leq \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{1+\frac{2|m|}{m^{2}+1}} \leq \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{1+1}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，当且仅当 $m=1$ 时取等号，

所以直线 $P B$ 与平面 $Q C D$ 所成角的正弦值的最大值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ．
【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直的判定和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目。