19．（12分）如图，四棱锥 $S-A B C D$ 中，$S D \perp$ 底面 $A B C D, A B \| D C, A D \perp D C, A B= \mathrm{AD}=1, \mathrm{DC}=\mathrm{SD}=2, \mathrm{E}$ 为棱 SB 上的一点，平面 $\mathrm{EDC} \perp$ 平面 SBC ．
（ I ）证明：SE＝2EB；
（II）求二面角A－DE－C的大小。
（12分）如图，四棱锥 S-A B C D 中， S D…——2010 高考数学第 19 题答案解析
2010_旧全国 I 卷 (2010·理)
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【考点】 LY ：平面与平面垂直； MJ ：二面角的平面角及求法．
【专题】11：计算题；14：证明题．
【分析】（ I ）连接 BD ，取 DC 的中点 G ，连接 BG ，作 $\mathrm{BK} \perp \mathrm{EC}, \mathrm{K}$ 为垂足，根据线面垂直的判定定理可知 $D E \perp$ 平面 $S B C$ ，然后分别求出 $S E$ 与 $E B$ 的长，从而得到结论；
（ II）根据边长的关系可知 $\triangle \mathrm{ADE}$ 为等腰三角形，取ED中点 F ，连接 AF ，连接 FG ，根据二面角平面角的定义可知 $\angle A F G$ 是二面角 $A$－DE－C的平面角，然后在三角形AGF中求出二面角A—DE—C的大小。
【解答】解：（（ I ）连接 BD ，取 DC 的中点 G ，连接 BG ，
由此知 $D G=G C=B G=1$ ，即 $\triangle D B C$ 为直角三角形，故 $B C \perp B D$ ．
又 $\mathrm{SD} \perp$ 平面 ABCD ，故 $\mathrm{BC} \perp \mathrm{SD}$ ，
所以， $\mathrm{BC} \perp$ 平面 $\mathrm{BDS}, \mathrm{BC} \perp \mathrm{DE}$ ．
作 $\mathrm{BK} \perp \mathrm{EC}, ~ \mathrm{~K}$ 为垂足，因平面 $\mathrm{EDC} \perp$ 平面 SBC ，
故 $\mathrm{BK} \perp$ 平面 $\mathrm{EDC}, \mathrm{BK} \perp \mathrm{DE}, \mathrm{DE}$ 与平面 SBC 内的两条相交直线 BK 、 BC 都垂直，
$\mathrm{DE} \perp$ 平面 $\mathrm{SBC}, ~ \mathrm{DE} \perp \mathrm{EC}, ~ \mathrm{DE} \perp \mathrm{SB}$ ．
$\mathrm{SB}=\sqrt{\mathrm{SD}^{2}+\mathrm{DB}^{2}}=\sqrt{6}$ ，
$\mathrm{DE}=\frac{\mathrm{SD} \cdot \mathrm{DB}}{\mathrm{SB}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$
$\mathrm{EB}=\sqrt{\mathrm{DB}^{2}-\mathrm{DE}^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}, \quad \mathrm{SE}=\mathrm{SB}-\mathrm{EB}=\frac{2 \sqrt{6}}{3}$
所以 $\mathrm{SE}=2 \mathrm{~EB}$
（II）由 $\mathrm{SA}=\sqrt{\mathrm{SD}^{2}+\mathrm{AD}^{2}}=\sqrt{5}, ~ A B=1, ~ S E=2 E B, ~ A B \perp S A$ ，知
$A E=\sqrt{\left(\frac{1}{3} S A\right)^{2}+\left(\frac{2}{3} A B\right)^{2}}=1$ ，又 $A D=1$ ．
故 $\triangle \mathrm{ADE}$ 为等腰三角形。
取 $E D$ 中点 $F$ ，连接 $A F$ ，则 $A F \perp D E, A F=\sqrt{A D^{2}-D F^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ ．
连接 $F G$ ，则 $F G \| E C, F G \perp D E$ ．
所以，$\angle A F G$ 是二面角 $A-D E-C$ 的平面角．
连接 $\mathrm{AG}, \mathrm{AG}=\sqrt{2}, \mathrm{FG}=\sqrt{\mathrm{DG}^{2}-\mathrm{DF}^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，
$\cos \angle \mathrm{AFG}=\frac{\mathrm{AF}^{2}+\mathrm{FG}^{2}-\mathrm{AG}^{2}}{2 \cdot \mathrm{AF} \cdot \mathrm{FG}}=-\frac{1}{2}$,
所以，二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{DE}-\mathrm{C}$ 的大小为 $120^{\circ}$ ．
【点评】本题主要考查了与二面角有关的立体几何综合题，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．
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