已知F是双曲线 C : x ^ 2 4 - y ^ 2 5…——2019 高考数学第 10 题答案解析

【答案】B【解析】【分析】

设 $P \big ( x _ { 0 } , y _ { 0 } \big )$ ，因为 $| O P | { = } | O F |$ 再结合双曲线方程可解出 $\left| y _ { 0 } \right|$ ，再利用三角形面积公式可求出结果.
【详解】设点 $P \big ( x _ { 0 } , y _ { 0 } \big )$ ，则 $\frac { { x _ { 0 } } ^ { 2 } } { 4 } - \frac { { y _ { 0 } } ^ { 2 } } { 5 } = 1 \textcircled { 1 }$ .又 $\scriptstyle | O P | = | O F | = { \sqrt { 4 + 5 } } = 3$
$\therefore x _ { 0 } ^ { \ 2 } + y _ { 0 } ^ { \ 2 } = 9 \textcircled { 2 }$ ． 由①②得 ${ y _ { 0 } } ^ { 2 } = \frac { 2 5 } { 9 }$ ，即 $\left| y _ { 0 } \right| = \frac { 5 } { 3 }$
$\therefore S _ { \scriptscriptstyle \Delta O P F } = \frac { 1 } { 2 } \big | O F \big | { \bullet } \big | y _ { 0 } \big | = \frac { 1 } { 2 } { \times } 3 { \times } \frac { 5 } { 3 } = \frac { 5 } { 2 }$ ． 故选B.

【点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题.