14．（5分）已知 $\alpha$ 为第三象限的角， $\cos 2 \alpha=-\frac{3}{5}$ ，则 $\tan \left(\frac{\pi}{4}+2 \alpha\right)=-\frac{1}{7}$－
（5分）已知 α 为第三象限的角， cos 2 α=- 3…——2010 高考数学第 14 题答案解析
2010_旧全国 I 卷 (2010·理)
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【考点】G3：象限角、轴线角；GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数．
【专题】11：计算题．
**方法一**：由 $\alpha$ 为第三象限的角，判断出 $2 \alpha$ 可能的范围，再结合又 $\cos 2 \alpha=-\frac{3}{5}<0$ 确定出 $2 \alpha$ 在第二象限，利用同角三角函数关系求出其正弦，再由两角和的正切公式展开代入求值。
**方法二**：判断 $2 \alpha$ 可能的范围时用的条件组合方式是推出式，其它比同．
【解答】解：方法一：因为 $\alpha$ 为第三象限的角，所以 $2 \alpha \in(2(2 k+1) \pi, \pi+2(2 \mathrm{k}+1) \pi) \quad(\mathrm{k} \in \mathrm{Z})$,
又 $_{\cos 2 \alpha} \alpha=-\frac{3}{5}<0$ ，所以 $2 \alpha \in\left(\frac{\pi}{2}+2(2 k+1) \pi, ~ \pi+2(2 k+1) \pi\right)(k \in Z$ ，
于是有 $\sin 2 \alpha=\frac{4}{5}, \tan 2 \alpha=\frac{\sin 2 \alpha}{\cos 2 \alpha}=-\frac{4}{3}$ ，
所以 $\tan \left(\frac{\pi}{4}+2 \alpha\right)=\frac{\tan \frac{\pi}{4}+\tan 2 \alpha}{1-\tan \frac{\pi}{4} \tan 2 \alpha}=\frac{1-\frac{4}{3}}{1+\frac{4}{3}}=-\frac{1}{7}$ ．
**方法二**：$\alpha$ 为第三象限的角， $\cos 2 \alpha=-\frac{3}{5}, 2 \mathrm{k} \pi+\pi<\alpha<2 \mathrm{k} \pi+\frac{3}{2} \pi \Rightarrow 4 \mathrm{k} \pi+2 \pi< 2 \alpha<4 \mathrm{k} \pi+3 \pi \Rightarrow 2 \alpha$ 在二象限， $\sin 2 \alpha=\frac{4}{5}$
$\tan \left(\frac{\pi}{4}+2 \alpha\right)=\frac{\sin \left(\frac{\pi}{4}+2 \alpha\right)}{\cos \left(\frac{\pi}{4}+2 \alpha\right)}=\frac{\sin \frac{\pi}{4} \cos 2 \alpha+\cos \frac{\pi}{4} \sin 2 \alpha}{\cos \frac{\pi}{4} \cos 2 \alpha-\sin \frac{\pi}{4} \sin 2 \alpha}=\frac{\cos 2 \alpha+\sin 2 \alpha}{\cos 2 \alpha-\sin 2 \alpha}=-\frac{1}{7}$
【点评】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的
正切公式，同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能。
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