2010 全国高考数学 2010_旧全国 I 卷 (2010·理) 第 14 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

14．（5分）已知 $\alpha$ 为第三象限的角， $\cos 2 \alpha=-\frac{3}{5}$ ，则 $	an \left(\frac{\pi}{4}+2 \alphaight)=-\frac{1}{7}$－

Accepted Answer

【考点】G3：象限角、轴线角；GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数． 【专题】11：计算题． **方法一**：由 $\alpha$ 为第三象限的角，判断出 $2 \alpha$ 可能的范围，再结合又 $\cos 2 \alpha=-\frac{3}{5}<0$ 确定出 $2 \alpha$ 在第二象限，利用同角三角函数关系求出其正弦，再由两角和的正切公式展开代入求值。 **方法二**：判断 $2 \alpha$ 可能的范围时用的条件组合方式是推出式，其它比同． 【解答】解：方法一：因为 $\alpha$ 为第三象限的角，所以 $2 \alpha \in(2(2 k+1) \pi, \pi+2(2 \mathrm{k}+1) \pi) \quad(\mathrm{k} \in \mathrm{Z})$, 又 $_{\cos 2 \alpha} \alpha=-\frac{3}{5}<0$ ，所以 $2 \alpha \in\left(\frac{\pi}{2}+2(2 k+1) \pi, ~ \pi+2(2 k+1) \piight)(k \in Z$ ， 于是有 $\sin 2 \alpha=\frac{4}{5}, 	an 2 \alpha=\frac{\sin 2 \alpha}{\cos 2 \alpha}=-\frac{4}{3}$ ， 所以 $	an \left(\frac{\pi}{4}+2 \alphaight)=\frac{	an \frac{\pi}{4}+	an 2 \alpha}{1-	an \frac{\pi}{4} 	an 2 \alpha}=\frac{1-\frac{4}{3}}{1+\frac{4}{3}}=-\frac{1}{7}$ ． **方法二**：$\alpha$ 为第三象限的角， $\cos 2 \alpha=-\frac{3}{5}, 2 \mathrm{k} \pi+\pi<\alpha<2 \mathrm{k} \pi+\frac{3}{2} \pi \Rightarrow 4 \mathrm{k} \pi+2 \pi< 2 \alpha<4 \mathrm{k} \pi+3 \pi \Rightarrow 2 \alpha$ 在二象限， $\sin 2 \alpha=\frac{4}{5}$ $	an \left(\frac{\pi}{4}+2 \alphaight)=\frac{\sin \left(\frac{\pi}{4}+2 \alphaight)}{\cos \left(\frac{\pi}{4}+2 \alphaight)}=\frac{\sin \frac{\pi}{4} \cos 2 \alpha+\cos \f…

2010 高考数学第 14 题答案解析

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