（5分）（2011•北京）在 ABC 中．若 b =5,…——2011 高考数学第 9 题答案解析

【考点】正弦定理；同角三角函数间的基本关系．
【专题】解三角形．
【分析】由 $\tan \mathrm{A}$ 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出 $\cos \mathrm{A}$ 的平方，然后由 A 的范围 ，再利用同角三角函数的基本关系求出 $\sin \mathrm{A}$ 的值，然后再利用正弦定理，由 $\sin \mathrm{A}, \sin \mathrm{B}$ 及 b的值即可求出 a 的值。
【解答】解：由 $\tan \mathrm{A}=2$ ，得到 $\cos ^{2} \mathrm{~A}=\frac{1}{1+\tan ^{2} \mathrm{~A}}=\frac{1}{5}$ ，
由 $A \in(0, \pi)$ ，得到 $\sin A=\sqrt{1-\frac{1}{5}}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，
根据正弦定理得：$\frac{\mathrm{a}}{\sin \mathrm{A}}=\frac{\mathrm{b}}{\sin \mathrm{B}}$ ，得到 $\mathrm{a}=\frac{\mathrm{b} \sin \mathrm{A}}{\sin \mathrm{B}}=\frac{5 \times \frac{2 \sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2 \sqrt{10}$ ．
故答案为：$\frac{2 \sqrt{5}}{5} ; 2 \sqrt{10}$
【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系以及正弦定理化简求值，是一道中档题。