（5分）若函数f ( x ) = x ln ( x + a…——2015 高考数学第 13 题答案解析

【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断

【专题】51：函数的性质及应用

【分析】由题意可得， ${ \textsf { f } } \left( { \begin{array} { c } { - \textsf { x } } \end{array} } \right) \ = { \mathsf { f } } \ \left( \textsf { x } \right)$ ，代入根据对数的运算性质即可求解

【解答】解： $: \because f ( x ) = \times \ln ( x + \sqrt { a + x ^ { 2 } } )$ 为偶函数，

∴f $( \mathbf { \partial } - \mathbf { \partial } \mathbf { x } ) \mathbf { \partial } = \mathbf { f } \mathbf { \partial } ( \mathbf { \partial } \mathbf { x } )$

∴ $( - x ) \ln ( - x + \sqrt { a + x ^ { 2 } } ) = x \ln ( x + \sqrt { a + x ^ { 2 } } )$

$$ \therefore - 1 { \mathsf n } ( - \mathbf x + \sqrt { \mathsf { a } + \mathbf x } ^ { 2 } ) = \mathsf { I } { \mathsf n } ( \mathbf x + \sqrt { \mathsf { a } + \mathbf x } ^ { 2 } ) $$

$$ \therefore \ln ( - x + \sqrt { a + x ^ { 2 } } ) + \ln ( x + \sqrt { a + x ^ { 2 } } ) = 0 , $$

$$ \therefore \ln ( \sqrt { a + x ^ { 2 } } + x ) ( \sqrt { a + x ^ { 2 } } - x ) = 0 , $$

∴lna=0，

∴a=1

故答案为：1

【点评】本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题