（5分）已知函数 f(x)=a x^ 3 +x+1 的图象…——2015 高考数学第 14 题答案解析

【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】53：导数的综合应用．
【分析】求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可．
【解答】解：函数 $f(x)=a x^{3}+x+1$ 的导数为：$f^{\prime}(x)=3 a x^{2}+1, f^{\prime}(1)=3 a+1$ ，而 $f$ ①$=a+2$ ，

切线方程为：$y-a-2=(3 a+1)(x-1)$ ，因为切线方程经过（ 2,7 ），所以7－a－2＝（3a＋1）（2－1），

解得 $a=1$ ．
故答案为： 1 ．
【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．