（5 分）（2008 •山东）已知圆的方程为 x^ 2 +…——2008 高考数学第 10 题答案解析

【解答】
（5 分）（2008－山东）已知圆的方程为 $x^{2}+y^{2}-6 x-8 y=0$ ，设该圆过点（ 3 ，5）的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD ，则四边形 ABCD 的面积为（）
A． $10 \sqrt{6}$
B． $20 \sqrt{6}$
C． $30 \sqrt{6}$
D． $40 \sqrt{6}$

【分析】根据题意可知，过 $(3,5)$ 的最长弦为直径，最短弦为过 $(3,5)$ 且垂直于该直径的弦，分别求出两个量，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可。
【解答】解：圆的标准方程为 $(\mathrm{x}-3)^{2}+(\mathrm{y}-4)^{2}=5^{2}$ ，
由题意得最长的弦 $|A C|=2 \times 5=10$ ，
根据勾股定理得最短的弦 $|\mathrm{BD}|=2 \sqrt{5^{2}-1^{2}}=4 \sqrt{6}$ ，且 $\mathrm{AC} \perp \mathrm{BD}$ ，

四边形 ABCD 的面积 $\mathrm{S}=\left|\frac{1}{2} \mathrm{AC}\right| \cdot|\mathrm{BD}|=\frac{1}{2} \times 10 \times 4 \sqrt{6}=20 \sqrt{6}$ ．
故选 B