2017_新课标III卷
10．（5分）已知椭圆C： $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的左、右顶点分别为 $| \mathsf { A } _ { 1 } , \mathsf { A } _ { 2 }$ 且以线段 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { A } _ { 2 }$ 为直径的圆与直线 ${ \mathsf { b } } { \mathsf { x } } - { \mathsf { a } } { \mathsf { y } } ^ { + } 2 { \mathsf { a } } { \mathsf { b } } { = } 0$ 相切，则C的离心率为（ ）A $\frac { \sqrt { 6 } } { 3 }$ B $\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ C $\frac { \sqrt { 2 } } { 3 }$ D $\frac 1 3$
A
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】K4：椭圆的性质
【专题】34：方程思想；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】以线段 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { A } _ { 2 }$ 为直径的圆与直线 ${ \mathsf { b } } { \mathsf { x } } - { \mathsf { a } } { \mathsf { y } } ^ { + } 2 { \mathsf { a } } { \mathsf { b } } { = } 0$ 相切，可得原点到直线的距离 $\frac { 2 a b } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } = a$ ，化简即可得出
【解答】解：以线段 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { A } _ { 2 }$ 为直径的圆与直线 $\mathsf { b } \mathsf { x } - \mathsf { a } \mathsf { y } ^ { + } 2 \mathsf { a } \mathsf { b } { = } 0$ 相切，
∴原点到直线的距离 $\frac { 2 a b } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } = a$ ，化为： $a ^ { 2 } = 3 b ^ { 2 }$
∴椭圆C的离心率 $\cos \frac { c } { a } = \sqrt { 1 - \frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } = \frac { \sqrt { 6 } } { 3 }$
故选：A
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题