设F为双曲线C： x ^ 2 a ^ 2 - y ^ 2…——2019 高考数学第 12 题答案解析

【答案】A【解析】【分析】

准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率

【详解】设 $P Q$ 与x轴交于点A，由对称性可知 $P Q \bot x$ 轴，

又 $\because \left| P Q \right| = \mid O F \mid = c$ ， |\ $P A | = { \frac { c } { 2 } } ,$ , \ PA 为以 $O F$ 为直径的圆的半径，

$$ \therefore A $$

$$ \vert O A \vert = \frac { c } { 2 } $$

$\therefore P { \left( { \frac { c } { 2 } } , { \frac { c } { 2 } } \right) }$ ，又P 点在圆 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = a ^ { 2 }$ 上，

$\therefore \frac { c ^ { 2 } } { 4 } + \frac { c ^ { 2 } } { 4 } = a ^ { 2 }$ ，即 ${ \frac { c ^ { 2 } } { 2 } } = a ^ { 2 }$ , \ $e ^ { 2 } = { \frac { c ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } = 2$

$\therefore e = { \sqrt { 2 } }$ ，故选A

【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来