【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】53：导数的综合应用
【分析】（1）利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程
（2）构造新函数利用函数的单调性证明命题成立
（3）对k进行讨论，利用新函数的单调性求参数k的取值范围
【解答】解答：（1）因为 ${ \textsf { f } } \left( { \textsf { x } } \right) = \ln \left( 1 + { \textsf { x } } \right) - \ln \left( 1 - { \textsf { x } } \right)$ 所以
$$
\bar { \bf f } ^ { \prime } ( { \bf x } ) { = } \frac { 1 } { 1 { + } { \bf x } } { + } \frac { 1 } { 1 { - } { \bf x } } , \bar { \bf f } ^ { \prime } ( 0 ) { = } 2
$$
又因为 ${ \textbf { \textsf { f } } } ( 0 ) { \mathsf { \textsf { = } } } 0$ ，所以曲线 ${ \mathsf { y } } { = } { \mathsf { f } } { \mathsf { \Omega } } \left( { \mathsf { x } } \right)$ 在点（0，f（0））处的切线方程为 $y = 2 x$
（2）证明：令 $\textbf { g } ( \textbf { x } ) = \textbf { f } ( \textbf { x } ) - 2 ( x + \frac { \textbf { x } ^ { 3 } } { 3 } )$ ，则
$$
{ \bf g } ^ { \prime } \left( { \bf x } \right) = { \bf f } ^ { \prime } \left( { \bf x } \right) - 2 \left( 1 + { \bf x } ^ { 2 } \right) = \frac { 2 { \bf x } ^ { 2 } } { 1 - { \bf x } ^ { 2 } } ,
$$
因为 $\mathbf { g } ^ { \prime } \mathbf { \Sigma } ( \mathbf { x } ) > 0 \mathbf { \Sigma } ( 0 < \mathbf { x } < 1 )$ ，所以g（x）在区间（0，1）上单调递增
所以 ${ \textbf { g } } ( { \textbf { x } } ) > { \textbf { g } } ( 0 ) = 0 , \ \mathrm { x } \in \ ( 0 , \ 1 )$
即当 $\mathbf { x } \in \ ( 0 , \ 1 )$ 时， ${ \textsf { f } } ( \mathbf { x } ) > 2 ( \mathbf { x } + \frac { \mathbf { x } ^ { 3 } } { 3 } )$
> ③由（2）知，当k≤2时， ${ \textsf { f } } \left( \mathbf { x } \right) > _ { \mathrm { k } } ( \mathbf { x } + { \frac { \mathbf { x } ^ { 3 } } { 3 } } )$ 对x∈（0，1）恒成立
当k＞2时，令h $( \mathbf { x } ) \mathbf { \Psi } = \mathbf { f } ( \mathbf { x } ) \mathbf { \Psi } - \mathbf { k } ( \mathbf { x } + \frac { \mathbf { x } ^ { 3 } } { 3 } )$ ，则
h'（x）=f'（x）﹣k（1+x<sup>2</sup>） kx4−(k-2)1-x 2
所以当 $0 { < x < \sqrt [ 4 ] { \frac { \mathrm { k - 2 } } { \mathrm { k } } } }$ 时， $\mathfrak { h } ^ { \prime } \mathbf { \Psi } ( \mathfrak { x } ) \mathbf { \Psi } < 0$ ，因此h（x）在区间（0， $\sqrt [ 4 ] { \frac { \mathrm { k } - 2 } { \mathrm { k } } } )$ 上单调递减
当 $\scriptstyle 0 < x < { \sqrt [ 4 ] { \frac { \mathrm { k } - 2 } { \mathrm { k } } } }$ 时， ${ \textsf { h } } \left( { \boldsymbol { \mathsf { x } } } \right) < { \mathsf { h } } \left( { \boldsymbol { \mathsf { 0 } } } \right) = { \boldsymbol { \mathsf { 0 } } }$ ，即 ${ \textbf { \textsf { f } } } ( \mathbf { \textsf { x } } ) < \mathrm { k } ( \mathbf { \mathbf { \bar { x } } } + { \frac { \mathbf { \bar { x } } ^ { 3 } } { 3 } } )$
所以当 k＞2 时， ${ \textsf { f } } \left( \mathbf { x } \right) > _ { \mathrm { k } } ( \mathbf { x } + { \frac { \mathbf { x } ^ { 3 } } { 3 } } )$ 并非对 $\mathbf { x } \in \ ( 0 , \ 1 )$ 恒成立
综上所知，k的最大值为2
【点评】本题主要考查切线方程的求法及新函数的单调性的求解证明．在高考中属常考题型，难度适中