2019_新课标I卷
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 $\left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle x = \frac { 1 - t ^ { 2 } } { 1 + t ^ { 2 } } , } \\ { \displaystyle y = \frac { 4 t } { 1 + t ^ { 2 } } } \end{array} \right.$ （t为参数），以坐标原点O为
极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
$$ 2 \rho \cos \theta + \sqrt { 3 } \rho \sin \theta + 1 1 = 0 . $$
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值
(1) $C : x ^ { 2 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1 , ~ l : 2 x + \sqrt { 3 } y + 1 1 = 0$; (2) $\sqrt { 7 }$
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【答案】① $C : x ^ { 2 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1 , ~ l : 2 x + \sqrt { 3 } y + 1 1 = 0$ ；② $\sqrt { 7 }$
【解析】
【分析】
（1）利用代入消元法，可求得C的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得l的直角坐标方程；②利用参数方程表示出C上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.
【详解】①由 $x = \frac { 1 - t ^ { 2 } } { 1 + t ^ { 2 } }$ 得： $t ^ { 2 } = \frac { 1 - x } { 1 + x }$ ，又 $y ^ { 2 } = \frac { 1 6 t ^ { 2 } } { \left( 1 + t ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }$
$$ \therefore y ^ { 2 } = { \frac { 1 6 \times { \frac { 1 - x } { 1 + x } } } { \left( 1 + { \frac { 1 - x } { 1 + x } } \right) ^ { 2 } } } = 4 { \bigl ( } 1 + x { \bigr ) } { \bigl ( } 1 - x { \bigr ) } = 4 - 4 x ^ { 2 } $$
整理可得C的直角坐标方程为： $x ^ { 2 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1$
又 $x = \rho \cos \theta , y = \rho \sin \theta$
\l的直角坐标方程为： $2 x + { \sqrt { 3 } } y + 1 1 = 0$
> ②设C上点的坐标为： $\left( \cos \theta , 2 \sin \theta \right)$
则C上的点到直线l的距离 $d = { \frac { \left| 2 \cos \theta + 2 { \sqrt { 3 } } \sin \theta + 1 1 \right| } { \sqrt { 7 } } } = { \frac { \left| 4 \sin \left( \theta + { \frac { \pi } { 6 } } \right) + 1 1 \right| } { \sqrt { 7 } } }$
当 $\sin \left( \theta + { \frac { \pi } { 6 } } \right) = - 1$ 时，d 取最小值
则 $d _ { \operatorname* { m i n } } = { \sqrt { 7 } }$
【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.