设 a_ n = 1 n sin n π 25 , S_…——2012 高考数学第 18 题答案解析

【答案】D

［解析］对于 $1 \leqslant k \leqslant 25, a_{k} \geqslant 0$（唯 $a_{25}=0$ ），所以 $S_{k}(1 \leqslant k \leqslant 25)$ 都为正数．
当 $26 \leqslant k \leqslant 49$ 时，令 $\frac{\pi}{25}=\alpha$ ，则 $\frac{k \pi}{25}=k \alpha$ ，画出 $k \alpha$ 终边如右，
其终边两两关于 $x$ 轴对称，即有 $\sin k \alpha=-\sin (50-k \alpha)$ ，
所以 $S_{k}=\frac{1}{1} \sin \alpha+\frac{1}{2} \sin 2 \alpha++\frac{1}{23} \sin 23 \alpha+\frac{1}{24} \sin 24 \alpha+0$
$+\frac{1}{26} \sin 26 \alpha+\frac{1}{27} \sin 27 \alpha+\frac{1}{k} \sin k \alpha$
$=\frac{1}{1} \sin \alpha+\frac{1}{2} \sin 2 \alpha++\left(\frac{1}{24}-\frac{1}{26}\right) \sin 24 \alpha+\left(\frac{1}{23}-\frac{1}{27}\right) \sin 23 \alpha+$
$+\left(\frac{1}{50-k}-\frac{1}{k}\right) \sin (50-k) \alpha$ ，其中 $k=26,27,49$ ，此时 $0<50-k<k$ ，
所以 $\frac{1}{50-k}-\frac{1}{k}>0$ ，又 $0<(50-k) \alpha \leq 24 \alpha<\pi$ ，所以 $\sin (50-k) \alpha>0$ ，
从而当 $k=26,27,49$ 时，$S_{k}$ 都是正数，$S_{50}=S_{49}+a_{50}=S_{49}+0=S_{49}>0$ 。
对于 $k$ 从 51 到 100 的情况同上可知 $S_{k}$ 都是正数。综上，可选 D ．

［评注］
本题中数列难于求和，可通过数列中项的正、负匹配来分析 $S_{k}$ 的符号，为此，需借助分类讨论、数形结合、先局部再整体等数学思想。而重中之重，是看清楚角序列的终边的对称性，此为攻题之关键。