2021_新课标 II 卷 (2021)
18．在 $\triangle A B C$ 中，角 $\mathrm{A} , B , C$ 所对的边长分别为 $a , b , c, b=a+1, c=a+2 \ldots$
（1）若 $2 \sin C=3 \sin A$ ，求 $\triangle A B C$ 的面积；
（2）是否存在正整数 $a$ ，使得 $\triangle A B C$ 为钝角三角形？若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，说明理由．
(1) $\frac{15 \sqrt{7}}{4}$; (2) 存在，且 $a=2$ ．
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】①$\frac{15 \sqrt{7}}{4}$ ；（2）存在，且 $a=2$ ．
【解析】
【分析】①由正弦定理可得出 $2 c=3 a$ ，结合已知条件求出 $a$ 的值，进一步可求得 $b , c$ 的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出 $\sin B$ ，再利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）分析可知，角 $C$ 为针角，由 $\cos C<0$ 结合三角形三边关系可求得整数 $a$ 的值．
【详解】（1）因为 $2 \sin C=3 \sin A$ ，则 $2 c=2(a+2)=3 a$ ，则 $a=4$ ，故 $b=5, c=6$ ，
$\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}=\frac{1}{8}$ ，所以，$C$ 为锐角，则 $\sin C=\sqrt{1-\cos ^{2} C}=\frac{3 \sqrt{7}}{8}$ ，
因此，$S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{1}{2} \times 4 \times 5 \times \frac{3 \sqrt{7}}{8}=\frac{15 \sqrt{7}}{4}$ ；
（2）显然 $c>b>a$ ，若 $\triangle A B C$ 为钝角三角形，则 $C$ 为钝角，
由余弦定理可得 $\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}=\frac{a^{2}+(a+1)^{2}-(a+2)^{2}}{2 a(a+1)}=\frac{a^{2}-2 a-3}{2 a(a+1)}<0$ ，
解得 $-1<a<3$ ，则 $0<a<3$ ，
由三角形三边关系可得 $a+a+1>a+2$ ，可得 $a>1, \because a \in Z$ ，故 $a=2$ ．