（12分）设 a R，函数 f(x)=a x^ 3 -3…——2008 高考数学第 21 题答案解析

【考点】6C：函数在某点取得极值的条件；6D：利用导数研究函数的极值；6E ：利用导数研究函数的最值．

【专题】16：压轴题．
【分析】（I）导函数在 $x=2$ 处为零求 $a$ ，是必要不充分条件故要注意检验
（II）利用最大值g（0）大于等于 $g(2)$ 求出 $a$ 的范围也是必要不充分条件注意检验

【解答】解：
（ I ）$f^{\prime}(x)=3 a x^{2}-6 x=3 x(a x-2)$ ．
因为 $x=2$ 是函数 $y=f(x)$ 的极值点，所以 $f^{\prime}(2)=0$ ，即 $6(2 a-2)=0$ ，因此 $a=1$

经验证，当 $a=1$ 时，$x=2$ 是函数 $y=f(x)$ 的极值点．
（II）由题设， $\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{ax}^{3}-3 \mathrm{x}^{2}+3 \mathrm{ax}^{2}-6 \mathrm{x}=\mathrm{ax}^{2}(\mathrm{x}+3)-3 \mathrm{x}(\mathrm{x}+2)$ ．
当 $g(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上的最大值为 $g(0)$ 时，$g(0) \geq g(2)$ ，即 $0 \geq 20 \mathrm{a}-24$ 。

故得 $a \leqslant \frac{6}{5}$ ．
反之，当 $a \leqslant \frac{6}{5}$ 时，对任意 $x \in[0,2], g(x) \leqslant \frac{6}{5} x^{2}(x+3)-3 x(x+2)= \frac{3 x}{5}\left(2 x^{2}+x-10\right)=\frac{3 x}{5}(2 x+5)(x-2) \leq 0$,
而 $g(0)=0$ ，故 $g(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上的最大值为 $g(0)$ ．
综上， a 的取值范围为 $\left(-\infty, \frac{6}{5}\right]$ ．
【点评】当函数连续且可导，极值点处的导数等于零是此点为极值点的必要不充分条件，所以解题时一定注意检验．