（21）（本题 15 分）已知 a 是实数，函数 $f(x)=x^{2}(x-a)$ ．
（I）若 $f^{1}①=3$ ，求 a 的值及曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程；
（II）求 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上的最大值。
参考答案本题主要考查基本性质、导数的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。满分 15 分。 （I）解：$f^{\prime}(x)=3 x^{2}-2 a x$ ． 因为 $f^{\prime}(\mathrm{I})=3-2 a=3$ ， 所以 $\quad a=0$ ． 又当 $a=0$ 时，$f(\mathrm{I})=1, f^{\prime}(\mathrm{I})=3$ ， 所以曲线 $y=f(x)$ 在 $(1, f(\mathrm{I}))$ 处的切线方程为 $\quad 3 x-y-2=0$ ． （II）解：令 $f^{\prime}(x)=0$ ，解得 $x_{1}=0, x_{2}=\frac{2 a}{3}$ ． 当 $\frac{2 a}{3} \leq 0$ ，即 $a \leqslant 0$ 时，$f(x)$ 在 $[0,2]$ 上单调递增，从而 $f_{\text {max }}=f②=8-4 a$. 当 $\frac{2 a}{3} \geq 2$ 时，即 $a \geqslant 3$ 时，$f(x)$ 在 $[0,2]$ 上单调递减，从而 $f_{\text {max }}=f(0)=0$. 当 $0<\frac{2 a}{3}<2$ ，即 $0<a<3, f(x)$ 在 $\left[0, \frac{2 a}{3}\right]$ 上单调递减，在 $\left[\frac{2 a}{3}, 2\right]$ 上单调递增，从而 $f_{\text {max }}= \begin{cases}8-4 a, & 0<a \leq 2 \text { ．} \\ 0, & 2<a<3 \text { ．}\end{cases}$ 综上所述，$f_{\max }= \begin{cases}8-4 a, & a \leq 2 . \\ 0, & a>2 .\end{cases}$