有 6 个相同的球, 分别标有数字 1、2、3、4、5、6…——2024 高考数学第 16 题答案解析

【答案】 $\frac{7}{15}$

【解析】

【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为 $a, b$ ，第三个球的号码为 $c$ ，则 $a + b - 3 \leq 2c \leq a + b + 3$ ，就 $c$ 的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.

【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有 $A_{6}^{3}=120$ 种，

设前两个球的号码为a,b，第三个球的号码为c，则 $\left|\frac{a+b+c}{3}-\frac{a+b}{2}\right|\leq\frac{1}{2}$ ，

故 $\left|2c-(a+b)\right|\leq3$ ，故 $-3\leq2c-(a+b)\leq3$ ，

故 $a + b - 3 \leq 2c \leq a + b + 3$

若 $c = 1$ ，则 $a + b \leq 5$ ，则 $(a, b)$ 为： $(2, 3), (3, 2)$ ，故有2种，

若 $c = 2$ ，则 $1 \leq a + b \leq 7$ ，则 $(a, b)$ 为： $(1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 4)$ ，

$(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,3)$ ，故有10种，

当 $c = 3$ ，则 $3 \leq a + b \leq 9$ ，则 $(a, b)$ 为：

$(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(4,5),$

$(2,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(5,4),$

故有 16 种，

当 $c = 4$ ，则 $5 \leq a + b \leq 11$ ，同理有16种，

当 $c = 5$ ，则 $7 \leq a + b \leq 13$ ，同理有10种，

当 $c = 6$ ，则 $9 \leq a + b \leq 15$ ，同理有2种，

共 $m$ 与 $n$ 的差的绝对值不超过 $\frac{1}{2}$ 时不同的抽取方法总数为 $2(2 + 10 + 16) = 56$

故所求概率为 $\frac{56}{120}=\frac{7}{15}$ .

故答案为: $\frac{7}{15}$