【答案】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，
同时考查空间想像能力和运算求解能力。满分15分。
（Ⅰ）因为M，N分别是PB，PD的中点，所以MN是 PBDD的中位线，所以
/ /MM BD
又因为 MNË平面 ABCD，所以
/ /MM平面 ABCD．
（Ⅱ）方法一：
连结 AC交BD于O，以O为原点，OC，OD所在直线为 x， y轴，建立空
间直角坐标系Oxyz，如图所示
在菱形 ABCD中， 120BADÐ = °，得
$2 3AC AB= =$， $3 6BD AB= =$．
又因为 $PA^$平面 ABCD，所以
$PA AC^$．
在直角 PACD中， $2 3AC=$， $2 6PA=$， $AQ PC^$，得
$2QC=$， $4PQ=$．
由此知各点坐标如下，
( 3 , 0 , 0)A-， (0 , 3 , 0)B-，
( 3 , 0 , 0)C， (0 , 3 , 0)D，
( 3 , 0 , 2 6)P-， 3 3( , , 6)2 2M- -，
3 3( , , 6)2 2N-， 3 2 6( , 0 , )3 3Q．
设 ( , , )$x y z=m$为平面 AMN的法向量．
由 $3 3( , , 6)2 2AM= -uuuu r$
， $3 3( , , 6)2 2AN=uuur$
知
3 36 02 23 36 02 2x y zx y zì- + =ïïíï+ + =ïî
取 $1x= -$，得
($2 2 , 0 , 1)= -m$
设 ( , , )$x y z=n$为平面QMN的法向量．
由 $5 3 3 6( , , )6 2 3QM= - -uuuu r$
， $5 3 3 6( , , )6 2 3QN= -uuur$
知
5 3 3 606 2 35 3 3 606 2 3x y zx y zì- - + =ïïíï- + + =ïî
取 $5z=$，得
($2 2 , 0 , 5)=n$
于是
33cos ,| | | 33×< >= =×m nm nm n |
．
所以二面角 A MN Q- -的平面角的余弦值为 3333
．
**方法二**：
在菱形 ABCD中， 120BADÐ = °，得
$AC AB BC DA= = =$， $3BD AB=$，
有因为 $PA^$平面 ABCD，所以
$PA AB^$，$PA AC^$，$PA AD^$，
所以 $PB PC PD= =$．
所以 PBC PDCD @ D．
而 M，N分别是PB，PD的中点，所以
$MQ NQ=$，且 $1 12 2AM PB PD AN= = =$．
取线段 MN的中点E，连结 AE，EQ，则
$AE MN^$，$QE MN^$，
所以 AEQÐ为二面角 A MN Q- -的平面角．
由 $2 3AB=$， $2 6PA=$，故
在 AMND中， $3AM AN= =$， $132MN BD= =$，得
$3 32AE=$．
在直角 PACD中， $AQ PC^$，得
$2 2AQ=$， $2QG=$， $4PQ=$，
在 PBCD中，
2 2 25cos2 6PB PC BCBPCPB PC+ -Ð = =×
，得
$2 22 cos 5MQ PM PQ PM PQ BPC= + -$ × Ð =．
在等腰 MQND中， $5MQ NQ= =$， $3MN=$，得
$2 2112QE MQ ME= - =$．
在 AEQD中， $3 32AE=$， $112QE=$， $2 2AQ=$，得
2 2 233cos2 33AE QE AQAEQAE QE+ -Ð = =×
．
所以二面角 A MN Q- -的平面角的余弦值为 3333
．