（12分）如图，三棱柱 A B C-A_ 1 B_ 1 C…——2014 高考数学第 19 题答案解析

【考点】M7：空间向量的夹角与距离求解公式；MJ：二面角的平面角及求法．

【专题】 5 H ：空间向量及应用．
【分析】①连结 $B C_{1}$ ，交 $B_{1} C$ 于点 $O$ ，连结 $A O$ ，可证 $B_{1} C \perp$ 平面 $A B O$ ，可得 $B_{1} C \perp A O$ ，$B_{1} O=C O$ ，进而可得 $A C=A B_{1}$ ；
②以 O 为坐标原点， $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ 的方向为 x 轴的正方向，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$ 为单位长度， $\overrightarrow{\mathrm{OB}_{1}}$ 的方向为 $y$ 轴的正方向， $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ 的方向为 $z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．

【解答】解：（1）连结 $\mathrm{BC}_{1}$ ，交 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{C}$ 于点 O ，连结 AO ，
∵ 侧面 $\mathrm{BB}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{C}$ 为菱形，
$\therefore \mathrm{BC}_{1} \perp \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}$ ，且 O 为 $\mathrm{BC}_{1}$ 和 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{C}$ 的中点，
又 $\because \mathrm{AB} \perp \mathrm{B}_{1} \mathrm{C}, \quad \therefore \mathrm{B}_{1} \mathrm{C} \perp$ 平面 ABO ，
$\because \mathrm{AO} \subset$ 平面 $\mathrm{ABO}, \quad \therefore \mathrm{B}_{1} \mathrm{C} \perp \mathrm{AO}$ ，
又 $B_{1} 0=C O, \quad \therefore A C=A B_{1}$ ，
②$\because A C \perp A B_{1}$ ，且 $O$ 为 $B_{1} C$ 的中点，$\therefore A O=C O$ ，
又 $\because A B=B C, \quad \therefore \triangle B O A \cong \triangle B O C, \quad \therefore O A \perp O B$ ，
$\therefore \mathrm{OA}, \mathrm{OB}, \mathrm{OB}_{1}$ 两两垂直，

以 O 为坐标原点， $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ 的方向为 x 轴的正方向，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$ 为单位长度，
$\overrightarrow{O B_{1}}$ 的方向为 $y$ 轴的正方向， $\overrightarrow{O A}$ 的方向为 $z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系，
$\because \angle \mathrm{CBB}_{1}=60^{\circ}, \therefore \triangle \mathrm{CBB}_{1}$ 为正三角形，又 $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$ ，
$\therefore \mathrm{A}\left(0,0, \frac{\sqrt{3}}{3}\right), \mathrm{B}(1,0,0),, \mathrm{B}_{1}\left(0, \frac{\sqrt{3}}{3}, 0\right), \mathrm{C}\left(0, \frac{\sqrt{3}}{3}, 0\right)$
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{AB}_{1}}=\left(0, \frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{3}}{3}\right), \overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\left(1,0,-\frac{\sqrt{3}}{3}\right), \overrightarrow{\mathrm{B}_{1} \mathrm{C}_{1}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(-1,-\frac{\sqrt{3}}{3}\right.$ ，0），

设向量 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})$ 是平面 $\mathrm{AA}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ 的法向量，
则 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{n}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}_{1}}=\frac{\sqrt{3}}{3} \mathrm{y} \frac{\sqrt{3}}{3} \mathrm{z}=0 \\ \overrightarrow{\mathrm{n}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1}}=\mathrm{x}-\frac{\sqrt{3}}{3} \mathrm{z}=0\end{array}\right.$ ，可取 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=(1, \sqrt{3}, \sqrt{3})$ ，
同理可得平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 的一个法向量 $\overrightarrow{\mathrm{m}}=(1,-\sqrt{3}, \sqrt{3})$ ，
$\therefore \cos <\vec{\Pi}, \quad \vec{n}>=\frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|}=\frac{1}{7}$,
∴ 二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1}-\mathrm{C}_{1}$ 的余弦值为 $\frac{1}{7}$
【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．