已知函数 f ( x ) = 2 x ^ 3 - a x…——2019 高考数学第 20 题答案解析

【答案】(1)见详解；② $[ \frac { 8 } { 2 7 } , 2 )$

【解析】

【分析】

(1)先求f(x)的导数，再根据的范围分情况讨论函数单调性；②

讨论的范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终求得M－m的取值范围.【详解】(1)对 $f ( x ) { = } 2 x ^ { 3 } - a x ^ { 2 } + 2$ 求导得 $f ^ { \prime } ( x ) = 6 x ^ { 2 } - 2 a x = 6 x ( x - \frac { a } { 3 } )$ .所以有当a<0时， $( - \infty , \frac { a } { 3 } )$ 区间上单调递增， $( \frac { a } { 3 } , 0 )$ 区间上单调递减， $( 0 , + \infty )$ 区间上单调递增；当a=0时， $( - \infty , + \infty )$ 区间上单调递增；

当 $a > 0$ 时，(-∞,0)区间上单调递增， $( 0 , \frac { a } { 3 } )$ 区间上单调递减， $( { \frac { a } { 3 } } , + \infty )$ 区间上单调递增.(2)

若 $0 < a \leq 2$ ，f(x)在区间 $( 0 , \frac { a } { 3 } )$ 单调递减，在区间 $( { \frac { a } { 3 } } , 1 )$ 单调递增，所以区间[0,1]上最小值为 $f ( \frac { a } { 3 } )$ .而 $f ( 0 ) = 2 , f ( 1 ) = 2 - a + 2 \geq f ( 0 )$ ，故所以区间[0,1]上最大值为f(1).

所以 $M - m = f ( 1 ) - f ( \frac { a } { 3 } ) = ( 4 - a ) - [ 2 ( \frac { a } { 3 } ) ^ { 3 } - a ( \frac { a } { 3 } ) ^ { 2 } + 2 ] = \frac { a ^ { 3 } } { 2 7 } - a + 2$ ，设函数

$g ( x ) = { \frac { x ^ { 3 } } { 2 7 } } - x + 2$ ，求导 $g ^ { \prime } ( x ) = \frac { x ^ { 2 } } { 9 } - 1$ 当 $0 < x \le 2$ 时 $g ^ { \prime } ( x ) < 0$ 从而g(x)单调递减.而$0 < a \leq 2$ ，所以 $\frac { 8 } { 2 7 } \leq \frac { a ^ { 3 } } { 2 7 } - a + 2 < 2$ .即 $M - m$ 的取值范围是 $[ \frac { 8 } { 2 7 } , 2 )$
若 $2 < a < 3$ ，f(x)在区间 $( 0 , \frac { a } { 3 } )$ 单调递减，在区间 $( { \frac { a } { 3 } } , 1 )$ 单调递增，所以区间[0,1]上最小值为 $f ( \frac { a } { 3 } )$ 而 $f ( 0 ) = 2 , f ( 1 ) = 2 - a + 2 \leq f ( 0 )$ ，故所以区间[0,1]上最大值为f(0).所以 $M - m = f ( 0 ) - f ( \frac { a } { 3 } ) = 2 - [ 2 ( \frac { a } { 3 } ) ^ { 3 } - a ( \frac { a } { 3 } ) ^ { 2 } + 2 ] = \frac { a ^ { 3 } } { 2 7 }$ ，而 $2 < a < 3$ ，所以$\frac { 8 } { 2 7 } < \frac { a ^ { 3 } } { 2 7 } < 1$ .即 $M - m$ 的取值范围是 $( \frac { 8 } { 2 7 } , 1 )$
综上得 $M - m$ 的取值范围是 $[ \frac { 8 } { 2 7 } , 2 )$

【点睛】(1)这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少.考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算.思考量不大，由计算量补充