已知函数 f(x)=2 cos (ω x+ ) 的部分图像…——2021 高考数学第 16 题答案解析

【答案】2

【解析】

【分析】先根据图象求出函数 $f(x)$ 的解析式，再求出 $f\left(-\frac{7 \pi}{4}\right), f\left(\frac{4 \pi}{3}\right)$ 的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得．

【详解】由图可知 $\frac{3}{4} T=\frac{13 \pi}{12}-\frac{\pi}{3}=\frac{3 \pi}{4}$ ，即 $T=\frac{2 \pi}{\omega}=\pi$ ，所以 $\omega=2$ ；
由五点法可得 $2 \times \frac{\pi}{3}+\varphi=\frac{\pi}{2}$ ，即 $\varphi=-\frac{\pi}{6}$ ；
所以 $f(x)=2 \cos \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)$ ．
因为 $f\left(-\frac{7 \pi}{4}\right)=2 \cos \left(-\frac{11 \pi}{3}\right)=1, f\left(\frac{4 \pi}{3}\right)=2 \cos \left(\frac{5 \pi}{2}\right)=0$ ；

所以由 $\left(f(x)-f\left(-\frac{7 \pi}{4}\right)\right)\left(f(x)-f\left(\frac{4 \pi}{3}\right)\right)>0$ 可得 $f(x)>1$ 或 $f(x)<0$ ；
因为 $f(1)=2 \cos \left(2-\frac{\pi}{6}\right)<2 \cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=1$ ，所以，
**方法一**：结合图形可知，最小正整数应该满足 $f(x)<0$ ，即 $\cos \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)<0$ ，

解得 $k \pi+\frac{\pi}{3}<x<k \pi+\frac{5 \pi}{6}, k \in \mathbf{Z}$ ，令 $k=0$ ，可得 $\frac{\pi}{3}<x<\frac{5 \pi}{6}$ ，
可得 $x$ 的最小正整数为 2 ．
**方法二**：结合图形可知，最小正整数应该满足 $f(x)<0$ ，又 $f(2)=2 \cos \left(4-\frac{\pi}{6}\right)<0$ ，符合题意，可得 $x$

的最小正整数为 2 ．
故答案为： 2 ．
【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解 $\omega$ ，根据特殊点求解 $\varphi$ 。