（1）设正离子经过电极 B 时的速度为 $v$。正离子在电场中加速，根据动能定理有：
$$ ZeU = \frac{1}{2}mv^2 $$
解得离子射出时的速度：
$$ v = \sqrt{\frac{2ZeU}{m}} $$
设在极短时间 $\Delta t$ 内飘入电极间的正离子个数为 $\Delta N$，则单位时间内飘入的正离子数目 $N = \frac{\Delta N}{\Delta t}$。
对这部分离子应用动量定理，电场力 $F'$ 的冲量等于动量的变化量：
$$ F' \Delta t = \Delta N \cdot mv - 0 $$
即电场力大小为：
$$ F' = \frac{\Delta N}{\Delta t} mv = Nmv $$
根据牛顿第三定律，引擎获得的推力 $F_1$ 大小等于电场力 $F'$ 的大小，即 $F_1 = Nmv$。
将速度 $v$ 的表达式代入，得：
$$ F_1 = Nm \sqrt{\frac{2ZeU}{m}} = N \sqrt{2ZemU} $$
解得单位时间内飘入的正离子数目：
$$ N = \frac{F_1}{\sqrt{2ZemU}} $$
（2）加速正离子束所消耗的功率 $P$ 等于单位时间内电场力对离子做的功，也等于单位时间内离子获得的动能总和。
$$ P = N \cdot \frac{1}{2}mv^2 = N ZeU $$
由第（1）问可知，推力 $F = Nmv$。
则推力与功率的比值为：
$$ \frac{F}{P} = \frac{Nmv}{N ZeU} = \frac{mv}{ZeU} $$
将 $v = \sqrt{\frac{2ZeU}{m}}$ 代入上式：
$$ \frac{F}{P} = \frac{m}{ZeU} \sqrt{\frac{2ZeU}{m}} = \sqrt{\frac{m^2}{(ZeU)^2} \cdot \frac{2ZeU}{m}} = \sqrt{\frac{2m}{ZeU}} $$
（3）根据推导出的表达式 $\frac{F}{P} = \sqrt{\frac{2m}{ZeU}}$，要使比值 $\frac{F}{P}$ 尽量大，可以采取以下措施：
1. 增大离子的质量 $m$；
2. 减小离子的电荷量 $Ze$（即选用 $Z$ 值较小的离子或元电荷 $e$ 更小的粒子，但在本题背景下通常指选用带电量少的离子）；
3. 减小加速电压 $U$。
