已知 a > 0 , ~ b > 0，且 a b = 1，…——2020 高考数学第 14 题答案解析

【答案】4

【解析】

【分析】

根据已知条件，将所求的式子化为 ${ \frac { a + b } { 2 } } + { \frac { 8 } { a + b } }$ ，利用基本不等式即可求解.

【详解】 $\cdot a > 0 , b > 0 , \therefore a + b > 0$ $a b = 1 , \therefore { \frac { 1 } { 2 a } } + { \frac { 1 } { 2 b } } + { \frac { 8 } { a + b } } = { \frac { a b } { 2 a } } + { \frac { a b } { 2 b } } + { \frac { 8 } { a + b } }$

$= \frac { a + b } { 2 } + \frac { 8 } { a + b } \geq 2 \sqrt { \frac { a + b } { 2 } { \times } \frac { 8 } { a + b } } = 4$ ，当且仅当 $a + b = 4 \textcircled { 1 }$ 取等号，

结合 $a b = 1$ ,解得 $a = 2 - { \sqrt { 3 } } , b = 2 + { \sqrt { 3 } }$ ，或 $a = 2 + { \sqrt { 3 } } , b = 2 - { \sqrt { 3 } }$ 时，等号成立.

故答案为： 4

【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1” 合理变换是解题的关键，属于基础题.的